Esercicio 2 : Hallar el área baso de la Cuva de la funsión \( f(x)-\frac{2}{3} x+1 \) Con 18 Subinterualos empezando con el intervalo \( [-5,9] \)

Para hallar el área bajo la curva de la función \( f(x) = \frac{2}{3}x + 1 \) en el intervalo \([-5, 9]\) utilizando 18 subintervalos, podemos aplicar el método de los rectángulos (también conocido como la regla de Riemann). ### Paso 1: Determinar el ancho de los subintervalos Primero, calculamos el ancho de cada subintervalo (\( \Delta x \)): \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{9 - (-5)}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} \] ### Paso 2: Determinar los puntos de evaluación Los puntos de evaluación para los subintervalos se pueden calcular como: \[ x_i = a + i \cdot \Delta x \quad \text{para } i = 0, 1, 2, \ldots, 18 \] Donde \( a = -5 \) y \( b = 9 \). Los puntos son: - \( x_0 = -5 \) - \( x_1 = -5 + \frac{7}{9} \) - \( x_2 = -5 + 2 \cdot \frac{7}{9} \) - ... - \( x_{18} = 9 \) ### Paso 3: Calcular los valores de la función Ahora, calculamos los valores de la función \( f(x) \) en cada uno de los puntos \( x_i \): \[ f(x) = \frac{2}{3}x + 1 \] ### Paso 4: Calcular el área El área bajo la curva se puede aproximar como: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot \Delta x \] ### Cálculo 1. **Calcular los puntos \( x_i \)**: \[ x_0 = -5 \] \[ x_1 = -5 + \frac{7}{9} = -\frac{38}{9} \approx -4.22 \] \[ x_2 = -5 + 2 \cdot \frac{7}{9} = -\frac{31}{9} \approx -3.44 \] \[ x_3 = -5 + 3 \cdot \frac{7}{9} = -\frac{24}{9} \approx -2.67 \] \[ x_4 = -5 + 4 \cdot \frac{7}{9} = -\frac{17}{9} \approx -1.89 \] \[ x_5 = -5 + 5 \cdot \frac{7}{9} = -\frac{10}{9} \approx -1.11 \] \[ x_6 = -5 + 6 \cdot \frac{7}{9} = -\frac{3}{9} \approx -0.33 \] \[ x_7 = -5 + 7 \cdot \frac{7}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.44 \] \[ x_8 = -5 + 8 \cdot \frac{7}{9} = \frac{11}{9} \approx 1.22 \] \[ x_9 = -5 + 9 \cdot \frac{7}{9} = \frac{18}{9} = 2 \] \[ x_{10} = -5 + 10 \cdot \frac{7}{9} = \frac{25}{9} \approx 2.78 \] \[ x_{11} = -5 + 11 \cdot \frac{7}{9} = \frac{32}{9} \approx 3.56 \] \[ x_{12} = -5 + 12 \cdot \frac{7}{9} = \frac{39}{9} \approx 4.33 \] \[ x_{13} = -5 + 13 \cdot \frac{7}{9} = \frac{46}{9} \approx 5.11 \] \[ x_{14} = -5 + 14 \cdot \frac{7}{9} = \frac{53}{9} \approx 5.89 \] \[ x_{15} = -5 + 15 \cdot \frac{7}{9} = \frac{60