На плоскости взяли пять точек. Через все парь этих точек провели прямые. Сколько при этом могло получиться прямых? Разберите все случаи.

Для решения задачи о количестве прямых, проходящих через все пары из пяти точек на плоскости, необходимо учитывать различные случаи, в зависимости от расположения этих точек. 1. **Все пять точек расположены в общем положении**: Если ни три точки не лежат на одной прямой, то каждая пара точек определяет уникальную прямую. Количество пар из \( n \) точек можно вычислить по формуле: \[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \] Для \( n = 5 \): \[ C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \] В этом случае получится 10 уникальных прямых. 2. **Три точки лежат на одной прямой, а две другие не лежат на этой прямой**: В этом случае прямая, проходящая через три коллинеарные точки, будет считаться одной. Пары из двух оставшихся точек также дадут две уникальные прямые. Таким образом, количество прямых будет: - 1 прямая через три коллинеарные точки, - 2 прямые через каждую из оставшихся точек с одной из коллинеарных. Итого: \[ 1 + 2 = 3 \] 3. **Четыре точки лежат на одной прямой, а пятая не лежит на этой прямой**: В этом случае будет одна прямая через четыре коллинеарные точки и четыре прямые, проходящие через каждую из коллинеарных точек и пятую точку. Итого: \[ 1 + 4 = 5 \] 4. **Все пять точек лежат на одной прямой**: В этом случае будет только одна прямая, проходящая через все пять точек. Итого: \[ 1 \] Теперь подведем итог по всем случаям: - Все точки в общем положении: 10 прямых. - Три точки на одной прямой, две другие не на ней: 3 прямые. - Четыре точки на одной прямой, одна не на ней: 5 прямых. - Все пять точек на одной прямой: 1 прямая. Таким образом, возможные количества прямых, проходящих через пары из пяти точек, могут быть: 1, 3, 5, 10.