83. कोई धनराशि \( 4 \frac{1}{2} \) वर्षों में 163 रु० हो जाती है । साधारण ब्याज की वार्षिक दर क्या है ?

साधारण ब्याज की वार्षिक दर ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: \[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \] जहाँ: - \( SI \) = साधारण ब्याज - \( P \) = मूलधन (Principal) - \( R \) = ब्याज की वार्षिक दर (Rate of interest) - \( T \) = समय (Years) यहाँ, हमें \( SI \) और \( P \) की जानकारी नहीं है, लेकिन हम जानते हैं कि कुल राशि (A) \( P + SI \) के बराबर है। हमें दिया गया है: - कुल राशि \( A = 163 \) रु० - समय \( T = 4 \frac{1}{2} = 4.5 \) वर्ष हम मान लेते हैं कि मूलधन \( P \) है। साधारण ब्याज \( SI \) को निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: \[ SI = A - P = 163 - P \] अब, हम इसे पहले के सूत्र में रख सकते हैं: \[ 163 - P = \frac{P \times R \times 4.5}{100} \] अब, इसे व्यवस्थित करते हैं: \[ 163 - P = \frac{4.5PR}{100} \] अब, इसे \( P \) के लिए हल करने के लिए, हम इसे पुनर्व्यवस्थित करते हैं: \[ 163 = P + \frac{4.5PR}{100} \] \[ 163 = P \left(1 + \frac{4.5R}{100}\right) \] अब, \( P \) को अलग करने के लिए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: \[ P = \frac{163}{1 + \frac{4.5R}{100}} \] अब, हम \( P \) को \( SI \) के लिए उपयोग कर सकते हैं: \[ SI = 163 - P = 163 - \frac{163}{1 + \frac{4.5R}{100}} \] अब, \( SI \) को \( \frac{P \times R \times T}{100} \) के रूप में व्यक्त करते हैं: \[ SI = \frac{P \times R \times 4.5}{100} \] अब, \( R \) के लिए हल करने के लिए, हम \( P \) के मान को \( SI \) में रख सकते हैं। चूंकि यह प्रक्रिया थोड़ी जटिल हो सकती है, हम एक सरल तरीका अपनाते हैं। हम जानते हैं कि साधारण ब्याज की दर को सीधे निकालने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: \[ R = \frac{100 \times SI}{P \times T} \] यहाँ, \( SI = A - P \) है। हम \( P \) को \( 163 \) से कम मानते हैं। मान लेते हैं कि \( P = 100 \) रु० है। तो \( SI = 163 - 100 = 63 \) रु० होगा। अब, \( R \) की गणना करते हैं: \[ R = \frac{100 \times 63}{100 \times 4.5} = \frac{6300}{450} = 14 \] इसलिए, साधारण ब्याज की वार्षिक दर \( R = 14\% \) है। अतः, साधारण ब्याज की वार्षिक दर \( 14\% \) है।