2. Lee el texto y haz lo que se indica. En una urna hay cinco bolas color de rosa y tres azules. Un experimento consiste en extraer una bola al azar, se anota su color, y se regresa a la urna. Se repite la misma operación dos veces más. Quedan tres colores anotados. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos. D: No sale ninguna bola color de rosa. E: Salen dos bolas color de rosa. F: Salen tres bolas color de rosa.

Para resolver el problema, primero definimos el espacio muestral y luego calculamos las probabilidades de los eventos solicitados. ### a) Espacio Muestral Dado que hay dos colores de bolas (rosa y azul) y se extraen tres bolas con reemplazo, el espacio muestral se puede representar como todas las combinaciones posibles de los colores de las bolas en tres extracciones. Los colores posibles son: - R (rosa) - A (azul) Dado que se realizan tres extracciones, el espacio muestral \( S \) se puede representar como: \[ S = \{ (R, R, R), (R, R, A), (R, A, R), (A, R, R), (R, A, A), (A, R, A), (A, A, R), (A, A, A) \} \] En total, hay \( 2^3 = 8 \) combinaciones posibles, ya que en cada extracción hay 2 opciones (rosa o azul). ### b) Cálculo de Probabilidades Para calcular las probabilidades de los eventos solicitados, primero determinamos la probabilidad de extraer una bola de cada color. - Probabilidad de sacar una bola rosa \( P(R) = \frac{5}{8} \) - Probabilidad de sacar una bola azul \( P(A) = \frac{3}{8} \) Ahora, calculamos las probabilidades de los eventos: #### Evento D: No sale ninguna bola color de rosa. Esto significa que todas las bolas extraídas son azules. Hay solo una combinación posible: \( (A, A, A) \). \[ P(D) = P(A) \cdot P(A) \cdot P(A) = \left( \frac{3}{8} \right)^3 = \frac{27}{512} \] #### Evento E: Salen dos bolas color de rosa. Para que salgan dos bolas rosas y una azul, las combinaciones posibles son: - \( (R, R, A) \) - \( (R, A, R) \) - \( (A, R, R) \) Hay 3 combinaciones posibles. La probabilidad de cada combinación es: \[ P(R, R, A) = P(R) \cdot P(R) \cdot P(A) = \left( \frac{5}{8} \right)^2 \cdot \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{25}{512} \] Por lo tanto, la probabilidad total de que salgan dos bolas rosas es: \[ P(E) = 3 \cdot P(R, R, A) = 3 \cdot \frac{25}{512} = \frac{75}{512} \] #### Evento F: Salen tres bolas color de rosa. Esto significa que todas las bolas extraídas son rosas. Hay solo una combinación posible: \( (R, R, R) \). \[ P(F) = P(R) \cdot P(R) \cdot P(R) = \left( \frac{5}{8} \right)^3 = \frac{125}{512} \] ### Resumen de Resultados - Espacio Muestral \( S \): 8 combinaciones posibles. - Probabilidad de D: \( P(D) = \frac{27}{512} \) - Probabilidad de E: \( P(E) = \frac{75}{512} \) - Probabilidad de F: \( P(F) = \frac{125}{512} \)