Используя монотонность функцип, реппите уравнение: а) \( x^{8}+3 x-7+\sqrt{2 x}=9 \) б) \( x^{4}-0,5 x+1,5+\sqrt{-x}=2-\frac{2}{x} \)

Для решения уравнений с использованием монотонности функций, начнем с каждого уравнения по отдельности. ### а) \( x^{8}+3 x-7+\sqrt{2 x}=9 \) Перепишем уравнение: \[ x^{8} + 3x - 7 + \sqrt{2x} - 9 = 0 \] или \[ x^{8} + 3x + \sqrt{2x} - 16 = 0 \] Обозначим функцию: \[ f(x) = x^{8} + 3x + \sqrt{2x} - 16 \] Теперь найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 8x^{7} + 3 + \frac{1}{2\sqrt{2x}} \] Для \( x > 0 \), \( 8x^{7} \) и \( 3 \) всегда положительны, а \( \frac{1}{2\sqrt{2x}} \) также положительно. Таким образом, \( f'(x) > 0 \) для всех \( x > 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) монотонно возрастает на интервале \( (0, +\infty) \). Теперь найдем значения функции в некоторых точках: - \( f(0) = 0^{8} + 3 \cdot 0 + \sqrt{2 \cdot 0} - 16 = -16 \) - \( f(1) = 1^{8} + 3 \cdot 1 + \sqrt{2 \cdot 1} - 16 = 1 + 3 + \sqrt{2} - 16 \approx -11.586 \) - \( f(2) = 2^{8} + 3 \cdot 2 + \sqrt{2 \cdot 2} - 16 = 256 + 6 + 2 - 16 = 248 \) Так как \( f(1) < 0 \) и \( f(2) > 0 \), по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале \( (1, 2) \). ### б) \( x^{4}-0,5 x+1,5+\sqrt{-x}=2-\frac{2}{x} \) Перепишем уравнение: \[ x^{4} - 0.5x + 1.5 + \sqrt{-x} - 2 + \frac{2}{x} = 0 \] или \[ x^{4} - 0.5x - 0.5 + \sqrt{-x} + \frac{2}{x} = 0 \] Обозначим функцию: \[ g(x) = x^{4} - 0.5x - 0.5 + \sqrt{-x} + \frac{2}{x} \] Однако, заметим, что \( \sqrt{-x} \) определена только для \( x \leq 0 \). Поэтому мы будем рассматривать только отрицательные значения \( x \). Теперь найдем производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = 4x^{3} - 0.5 - \frac{1}{2\sqrt{-x}} - \frac{2}{x^{2}} \] Анализируя \( g'(x) \) для \( x < 0 \), мы видим, что \( 4x^{3} \) будет отрицательным, а остальные члены будут положительными, что делает \( g'(x) \) сложным для анализа. Вместо этого, давайте подберем значения \( g(x) \) для некоторых отрицательных \( x \): - \( g(-1) = (-1)^{4} - 0.5(-1) - 0.5 + \sqrt{1} + \frac{2}{-1} = 1 + 0.5 - 0.5 + 1 - 2 = 0 \) Таким образом, \( x = -1 \) является решением уравнения. ### Ответы: а) Уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале \( (1, 2) \). б) Уравнение имеет решение \( x = -1 \).