De la suma de \( x^{4}+x^{2}-3 \) con \( -3 x+5-x^{3} \) y con \( -5 x^{2}+4 x+x^{4} \), restar la suma de \( -7 x^{3}+8 x^{2}-3 x+4 \) con \( x^{4}-3 \)

Para resolver el problema, primero realizaremos las sumas y restas indicadas paso a paso. 1. **Sumar \( x^{4}+x^{2}-3 \) con \( -3 x+5-x^{3} \)**: \[ (x^{4} + x^{2} - 3) + (-3x + 5 - x^{3}) = x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 - 3x + 5 \] Agrupando los términos: \[ = x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3x + 2 \] 2. **Sumar el resultado anterior con \( -5 x^{2}+4 x+x^{4} \)**: \[ (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3x + 2) + (-5x^{2} + 4x + x^{4}) = x^{4} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - 5x^{2} - 3x + 4x + 2 \] Agrupando los términos: \[ = 2x^{4} - x^{3} + (1 - 5)x^{2} + (-3 + 4)x + 2 = 2x^{4} - x^{3} - 4x^{2} + x + 2 \] 3. **Sumar \( -7 x^{3}+8 x^{2}-3 x+4 \) con \( x^{4}-3 \)**: \[ (-7x^{3} + 8x^{2} - 3x + 4) + (x^{4} - 3) = x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} - 3x + 4 - 3 \] Agrupando los términos: \[ = x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} - 3x + 1 \] 4. **Restar la suma anterior de la suma del primer paso**: \[ (2x^{4} - x^{3} - 4x^{2} + x + 2) - (x^{4} - 7x^{3} + 8x^{2} - 3x + 1) \] Esto se realiza distribuyendo el signo negativo: \[ = 2x^{4} - x^{3} - 4x^{2} + x + 2 - x^{4} + 7x^{3} - 8x^{2} + 3x - 1 \] Agrupando los términos: \[ = (2x^{4} - x^{4}) + (-x^{3} + 7x^{3}) + (-4x^{2} - 8x^{2}) + (x + 3x) + (2 - 1) \] Simplificando: \[ = x^{4} + 6x^{3} - 12x^{2} + 4 + 1 = x^{4} + 6x^{3} - 12x^{2} + 1 \] Por lo tanto, el resultado final es: \[ \boxed{x^{4} + 6x^{3} - 12x^{2} + 1} \]