31. Pedro vende helados. El cono de helado que ocupa tiene un radio de 3 cm y una altura 8 cm . Él desea saber cómo varía la cantidad de nieve al cambiar el radio del cono que usa a 6 cm . ¿En qué proporción cambia el volumen del cono de 6 cm con respecto al cono de 3 cm ?

Para calcular la proporción en que cambia el volumen del cono al cambiar el radio, primero necesitamos recordar la fórmula del volumen de un cono: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] donde \( V \) es el volumen, \( r \) es el radio y \( h \) es la altura. ### Volumen del cono con radio de 3 cm Para el cono con radio \( r_1 = 3 \) cm y altura \( h = 8 \) cm: \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi (9)(8) = \frac{72}{3} \pi = 24\pi \, \text{cm}^3 \] ### Volumen del cono con radio de 6 cm Para el cono con radio \( r_2 = 6 \) cm y la misma altura \( h = 8 \) cm: \[ V_2 = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi (36)(8) = \frac{288}{3} \pi = 96\pi \, \text{cm}^3 \] ### Proporción del volumen Ahora, para encontrar la proporción en que cambia el volumen al aumentar el radio de 3 cm a 6 cm, calculamos: \[ \text{Proporción} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{96\pi}{24\pi} = \frac{96}{24} = 4 \] Por lo tanto, el volumen del cono de 6 cm es 4 veces mayor que el volumen del cono de 3 cm.