8 Résous les équations suivantes : \( (2 x-1)^{2}=x^{2} ;(5 x-2)^{2}=49 ;(3 x-4)^{2}=(x-1)^{2} \)

Pour résoudre les équations données, nous allons les traiter une par une. 1. **Équation :** \((2x - 1)^{2} = x^{2}\) En développant l'équation, nous avons : \[ (2x - 1)^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 \] Donc, l'équation devient : \[ 4x^{2} - 4x + 1 = x^{2} \] En réarrangeant, nous obtenons : \[ 4x^{2} - x^{2} - 4x + 1 = 0 \implies 3x^{2} - 4x + 1 = 0 \] Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] où \(a = 3\), \(b = -4\), et \(c = 1\). \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Cela nous donne deux solutions : \[ x = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{et} \quad x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 2. **Équation :** \((5x - 2)^{2} = 49\) En prenant la racine carrée des deux côtés, nous avons : \[ 5x - 2 = 7 \quad \text{ou} \quad 5x - 2 = -7 \] Pour la première équation : \[ 5x - 2 = 7 \implies 5x = 9 \implies x = \frac{9}{5} \] Pour la seconde équation : \[ 5x - 2 = -7 \implies 5x = -5 \implies x = -1 \] Donc, les solutions sont \(x = \frac{9}{5}\) et \(x = -1\). 3. **Équation :** \((3x - 4)^{2} = (x - 1)^{2}\) En développant les deux côtés, nous avons : \[ (3x - 4)^{2} = 9x^{2} - 24x + 16 \] et \[ (x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1 \] Donc, l'équation devient : \[ 9x^{2} - 24x + 16 = x^{2} - 2x + 1 \] En réarrangeant, nous obtenons : \[ 9x^{2} - x^{2} - 24x + 2x + 16 - 1 = 0 \implies 8x^{2} - 22x + 15 = 0 \] Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] où \(a = 8\), \(b = -22\), et \(c = 15\). \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 480}}{16} = \frac{22 \pm \sqrt{4}}{16} = \frac{22 \pm 2}{16} \] Cela nous donne deux solutions : \[ x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{20}{16} = \frac{5}{