11. Un vaso de vidrio pyrex con capacidad volumétrica de un litro, contiene 985 ml de agua a temperatura ambiente. ¿A qué temperatura se debe calentar el sistema para que el vaso se llene de agua sin que se derrame?

Para resolver este problema, necesitamos considerar la expansión térmica del agua y del vaso de vidrio Pyrex. 1. **Datos iniciales**: - Volumen del vaso: 1 litro (1000 ml) - Volumen de agua: 985 ml - Volumen vacío en el vaso: 1000 ml - 985 ml = 15 ml 2. **Expansión térmica del agua**: El agua se expande al calentarse. La expansión volumétrica del agua se puede aproximar con el coeficiente de expansión volumétrica, que es aproximadamente \( 0.000214 \, \text{°C}^{-1} \) en el rango de temperaturas comunes. 3. **Expansión térmica del vidrio**: El vidrio Pyrex también se expande al calentarse, pero su coeficiente de expansión es diferente. Para el Pyrex, el coeficiente de expansión volumétrica es aproximadamente \( 0.00003 \, \text{°C}^{-1} \). 4. **Cálculo de la temperatura**: Supongamos que el agua se calienta a una temperatura \( T_f \) y que la temperatura inicial del agua es \( T_i \) (temperatura ambiente, que podemos asumir como 20 °C). La expansión del agua se puede calcular como: \[ V_{agua\_final} = V_{agua\_inicial} \cdot (1 + \beta_{agua} \cdot (T_f - T_i)) \] Donde \( \beta_{agua} \) es el coeficiente de expansión volumétrica del agua. La expansión del vaso se puede calcular como: \[ V_{vaso\_final} = V_{vaso\_inicial} \cdot (1 + \beta_{vaso} \cdot (T_f - T_i)) \] Donde \( \beta_{vaso} \) es el coeficiente de expansión volumétrica del vidrio. Queremos que el volumen del agua al calentarse sea igual al volumen total del vaso al calentarse, es decir: \[ V_{agua\_final} = V_{vaso\_final} \] Sustituyendo las ecuaciones de expansión: \[ 985 \cdot (1 + 0.000214 \cdot (T_f - 20)) = 1000 \cdot (1 + 0.00003 \cdot (T_f - 20)) \] Resolviendo esta ecuación para \( T_f \): \[ 985 + 985 \cdot 0.000214 \cdot (T_f - 20) = 1000 + 1000 \cdot 0.00003 \cdot (T_f - 20) \] Simplificando: \[ 985 + 0.20779 \cdot (T_f - 20) = 1000 + 0.03 \cdot (T_f - 20) \] \[ 0.20779 \cdot (T_f - 20) - 0.03 \cdot (T_f - 20) = 1000 - 985 \] \[ 0.17779 \cdot (T_f - 20) = 15 \] \[ T_f - 20 = \frac{15}{0.17779} \] \[ T_f - 20 \approx 84.4 \] \[ T_f \approx 104.4 \, \text{°C} \] Por lo tanto, la temperatura a la que se debe calentar el sistema para que el vaso se llene de agua sin que se derrame es aproximadamente **104.4 °C**.