In due rettangoli simili il perimetro del pri- mo è 110 cm e la base e l'altezza sono una i \( 2 / 3 \) dell'altra. Calcola il rapporto di similitudine tra i due rettangoli e il pe- rimetro del secondo rettangolo, sapendo che la sua base misura 40 cm. \[ [20 / 11 ; \mathbf{2 0 0} \mathbf{~ c m}] \]

Per risolvere questo problema, dobbiamo seguire questi passaggi: 1. **Calcolare il rapporto di similitudine tra i due rettangoli.** 2. **Calcolare il perimetro del secondo rettangolo.** ### Passo 1: Calcolare il rapporto di similitudine tra i due rettangoli Sappiamo che i rettangoli sono simili, quindi i rapporti delle loro dimensioni sono costanti. Diamo le dimensioni del primo rettangolo come \( b_1 \) (base) e \( h_1 \) (altezza), e del secondo rettangolo come \( b_2 \) (base) e \( h_2 \) (altezza). Secondo il problema, la base e l'altezza del primo rettangolo sono in rapporto \( 2:3 \), quindi possiamo scrivere: \[ \frac{b_1}{h_1} = \frac{2}{3} \] Il perimetro del primo rettangolo è dato da: \[ P_1 = 2(b_1 + h_1) = 110 \text{ cm} \] Sostituendo \( h_1 = \frac{3}{2} b_1 \) nel perimetro del primo rettangolo, otteniamo: \[ 2\left(b_1 + \frac{3}{2} b_1\right) = 110 \] \[ 2\left(\frac{5}{2} b_1\right) = 110 \] \[ 5b_1 = 110 \] \[ b_1 = 22 \text{ cm} \] Quindi, l'altezza del primo rettangolo è: \[ h_1 = \frac{3}{2} b_1 = \frac{3}{2} \times 22 = 33 \text{ cm} \] Ora, sappiamo che la base del secondo rettangolo è \( b_2 = 40 \text{ cm} \). Dobbiamo trovare l'altezza \( h_2 \) del secondo rettangolo. Poiché i rettangoli sono simili, il rapporto tra le basi e le altezze è lo stesso: \[ \frac{b_1}{h_1} = \frac{b_2}{h_2} \] \[ \frac{22}{33} = \frac{40}{h_2} \] \[ h_2 = \frac{40 \times 33}{22} \] \[ h_2 = \frac{40 \times 3}{2} \] \[ h_2 = 60 \text{ cm} \] Ora possiamo calcolare il perimetro del secondo rettangolo: \[ P_2 = 2(b_2 + h_2) \] \[ P_2 = 2(40 + 60) \] \[ P_2 = 2 \times 100 \] \[ P_2 = 200 \text{ cm} \] ### Passo 2: Calcolare il rapporto di similitudine tra i due rettangoli Il rapporto di similitudine tra i due rettangoli è dato dal rapporto tra le loro basi o altezze. Possiamo usare il rapporto tra le basi: \[ \text{Rapporto di similitudine} = \frac{b_1}{b_2} \] \[ \text{Rapporto di similitudine} = \frac{22}{40} \] \[ \text{Rapporto di similitudine} = \frac{11}{20} \] Quindi, il rapporto di similitudine tra i due rettangoli è \( 11:20 \). ### Risultato finale - Rapporto di similitudine tra i due rettangoli: \( 11:20 \) - Perimetro del secondo rettangolo: \( 200 \text{ cm} \)