12) \( a_{n}=\frac{(5 n)!}{25^{n}(2 n)!(3 n)!} \)

Berilgan ketma-ketlik: \[ a_{n} = \frac{(5 n)!}{25^{n}(2 n)!(3 n)!} \] Bu ketma-ketlikni tahlil qilish uchun, avvalo, uning umumiy ko'rinishini va xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Bu formulada \( (5n)! \) faktoriali, \( 25^n \) koeffitsienti va \( (2n)! \) va \( (3n)! \) faktorialari mavjud. Bu turdagi ketma-ketliklar ko'pincha kombinatorik yoki geometrik ma'noga ega bo'lishi mumkin. ### 1. Asimptotik tahlil Ketma-ketlikning asimptotik xususiyatlarini o'rganish uchun Stirling formulasi yordamida faktoriallarni taxmin qilishimiz mumkin: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] Bu formulani qo'llab, \( a_n \) ni asimptotik tahlil qilamiz: \[ (5n)! \sim \sqrt{10 \pi n} \left( \frac{5n}{e} \right)^{5n} \] \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} \] \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n} \] Shunday qilib, \( a_n \) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: \[ a_n \sim \frac{\sqrt{10 \pi n} \left( \frac{5n}{e} \right)^{5n}}{25^n \cdot \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} \cdot \sqrt{6 \pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n}} \] Bu ifodani soddalashtirib, \( n \) ga bog'liq bo'lgan qismlarni ajratib ko'rishimiz mumkin. ### 2. Ketma-ketlikning chegarasi Ketma-ketlikning chegarasini aniqlash uchun, \( n \) ni cheksizga olib boramiz. Agar \( a_n \) ning chegarasi mavjud bo'lsa, u holda: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \] ni hisoblashimiz kerak. Bu hisoblashlar natijasida \( a_n \) ning chegarasi yoki konvergensiya xususiyatlarini aniqlashimiz mumkin. ### 3. Xulosa Bu ketma-ketlik kombinatorik ko'rinishga ega bo'lib, u ko'plab matematik muammolarni yechishda, masalan, kombinatorik hisoblashlar yoki ehtimollik nazariyasida qo'llanilishi mumkin. Agar sizga bu ketma-ketlik haqida qo'shimcha ma'lumot yoki aniq bir savol kerak bo'lsa, iltimos, so'rang!