\( 9 y ^ { \prime \prime } - 12 y ^ { \prime } + 4 y = 0 ; \quad y _ { 1 } = e ^ { 2 x / 3 } \)

La ecuación diferencial dada es: \[ 9 y'' - 12 y' + 4 y = 0 \] Para resolver esta ecuación, primero encontramos la ecuación característica asociada, que se obtiene al sustituir \( y = e^{rx} \): \[ 9r^2 - 12r + 4 = 0 \] Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 9 \), \( b = -12 \), y \( c = 4 \). Sustituyendo estos valores: \[ r = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} \] \[ r = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{18} \] \[ r = \frac{12 \pm 0}{18} \] \[ r = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \] Dado que tenemos una raíz doble \( r = \frac{2}{3} \), la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = C_1 e^{\frac{2}{3}x} + C_2 x e^{\frac{2}{3}x} \] Donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes arbitrarias. Dado que se nos proporciona una solución particular \( y_1 = e^{\frac{2}{3}x} \), podemos usarla para encontrar una solución particular o para determinar las constantes si se proporcionan condiciones iniciales. Sin embargo, en este caso, no se han dado condiciones iniciales adicionales. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = C_1 e^{\frac{2}{3}x} + C_2 x e^{\frac{2}{3}x} \]