II. Resuelve las siguientes divisiones usando la regla de Ruffini: 1) $$ x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 $$ Dividido entre $$ x-4 $$

Question

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El resultado de la división es $$ x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 = (x-4)(x^{3}+x^{2}-2x-3) $$ y el residuo es $$ 0 $$. Para resolver la división de $$ x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 $$ entre $$ x-4 $$ usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos: 1. **Identificamos los coeficientes del polinomio**: - Los coeficientes de $$ x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 $$ son: $$ 1, -3, -6, 5, 12 $$. 2. **Escribimos el número que corresponde a la raíz del divisor**: - Para $$ x-4 $$, la raíz es $$ 4 $$. 3. **Colocamos los coeficientes en la tabla de Ruffini**: $$ \begin{array}{r|rrrrr} 4 & 1 & -3 & -6 & 5 & 12 \ & & 4 & 4 & -8 & -12 \ \hline & 1 & 1 & -2 & -3 & 0 \ \end{array} $$ 4. **Realizamos la operación**: - Bajamos el primer coeficiente $$ 1 $$. - Multiplicamos $$ 4 $$ (la raíz) por $$ 1 $$ y sumamos al siguiente coeficiente: $$ -3 + 4 = 1 $$. - Multiplicamos $$ 4 $$ por $$ 1 $$ y sumamos al siguiente coeficiente: $$ -6 + 4 = -2 $$. - Multiplicamos $$ 4 $$ por $$ -2 $$ y sumamos al siguiente coeficiente: $$ 5 - 8 = -3 $$. - Multiplicamos $$ 4 $$ por $$ -3 $$ y sumamos al siguiente coeficiente: $$ 12 - 12 = 0 $$. 5. **Interpretamos el resultado**: - Los números en la fila inferior son los coeficientes del cociente. Así, el cociente es $$ x^{3} + 1x^{2} - 2x - 3 $$ y el residuo es $$ 0 $$. Por lo tanto, el resultado de la división es: $$ x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 = (x-4)(x^{3}+x^{2}-2x-3) $$ Y el residuo es $$ 0 $$.

II. Resuelve las siguientes divisiones usando la regla de Ruffini: 1) \( x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}+5 x+12 \) Dividido entre \( x-4 \)

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