Actividad 5 La arena contenida en un reloj de arena ocupa un volumen de \( 567 \mathrm{~cm}^{3} \) y el fabricante indica que la velocidad de caida de la arena es de \( 7 \mathrm{~cm}^{3 / s} \). a) Averigua, ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj. b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? c) Si registramos la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido, ¿Cuáles serían los datos que aparecerian en la siguiente tabla?

Para resolver las preguntas planteadas, vamos a analizar el problema paso a paso. ### a) ¿Cuánto tarda en haber la misma cantidad de arena en las dos partes del reloj? El volumen total de arena en el reloj de arena es de \( 567 \, \text{cm}^3 \). Cuando la arena comienza a caer, se distribuye entre las dos partes del reloj. Queremos encontrar el tiempo \( t \) en el que ambas partes tienen la misma cantidad de arena. Si \( V_1 \) es el volumen de arena en la parte superior y \( V_2 \) es el volumen de arena en la parte inferior, al inicio \( V_1 = 567 \, \text{cm}^3 \) y \( V_2 = 0 \, \text{cm}^3 \). La velocidad de caída de la arena es de \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \). Por lo tanto, el volumen de arena que ha caído en \( t \) segundos es: \[ V_{\text{caído}} = 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t \] En el momento en que ambas partes tienen la misma cantidad de arena, se cumple que: \[ V_1 = V_2 \] Dado que \( V_1 + V_2 = 567 \, \text{cm}^3 \) y \( V_2 = V_{\text{caído}} \), podemos escribir: \[ V_1 = 567 \, \text{cm}^3 - V_{\text{caído}} = 567 \, \text{cm}^3 - 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t \] Igualando \( V_1 \) y \( V_2 \): \[ 567 \, \text{cm}^3 - 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t = 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t \] Sumando \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t \) a ambos lados: \[ 567 \, \text{cm}^3 = 14 \, \text{cm}^3/\text{s} \cdot t \] Despejando \( t \): \[ t = \frac{567 \, \text{cm}^3}{14 \, \text{cm}^3/\text{s}} = 40.5 \, \text{s} \] ### b) ¿A los cuántos segundos de iniciado el conteo la otra parte del reloj contiene toda la arena? La otra parte del reloj contendrá toda la arena cuando toda la arena haya caído. Dado que la velocidad de caída es de \( 7 \, \text{cm}^3/\text{s} \), el tiempo \( t \) para que caiga todo el volumen de \( 567 \, \text{cm}^3 \) es: \[ t = \frac{567 \, \text{cm}^3}{7 \, \text{cm}^3/\text{s}} = 81 \, \text{s} \] ### c) Datos de la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj de acuerdo al tiempo transcurrido Para registrar la variación del volumen de arena en la primera parte del reloj, podemos hacer una tabla con el tiempo \( t \) y el volumen de arena en la parte superior \( V_1 \). | Tiempo (s) | Volumen en la parte superior \( V_1 \) (cm³) | |------------|---------------------------------------------| | 0 | 567 | | 1 | 567 - 7 \cdot 1 = 560 | | 2 | 567 - 7 \cdot 2 = 553 | | 3 | 567 - 7 \cdot 3 = 546 | | ... | ... | | 40 | 567 - 7 \cdot 40 = 7 | | 40.5 | 567 - 7 \cdot 40.5 = 0 | | 41 | 0 | | ... | ... | | 81 | 0 | La tabla muestra cómo el volumen de arena en la parte superior disminuye a medida que pasa el tiempo, hasta que se vacía completamente a los \( 40.5 \, \text{s} \). A