2- Seja a função polinomial \( f(x)=x^{15}+x^{14}+x^{13}+\ldots+x^{2}+x+1 \). Calcule \( f(0), f(1), f(-1) \). 3- Dado o polinômio \( p(x)=x^{2}-2 x \), calcule o valor de \( p(1+i) \). 4- Determine \( a, b, c \) de modo que a função \( f(x)=(a+b-5) x^{2}+(b+c-7) x+(a+c) \) seja identicamente nula. 5- Dados os polinômios \( f(x)=7-2 x+4 x^{2}, g(x)=5+x+x^{2}+5 x^{3} \) e \( h(x)=2-3 x+x^{4} \). Calcule \( (f+g)(x),(g-h)(x) \) e \( (h-f)(x) \). 6- Dados os polinômios \( f(x)=2+3 x-4 x^{2}, g(x)=7+x^{2} \) e \( h(x)=2 x-3 x^{2}+x^{3} \). Calcule ( \( f \cdot g)(x),(g \cdot h)(x) \) e \( (h \cdot f)(x) \). 7- Sendo dados os polinômios \( f=x, g=x+x^{3} \) e \( h=2 x^{3}+5 x \), obtenha os números reais \( a, b \) tais que \( h=a \cdot f+b \cdot g \).

Vamos resolver cada um dos itens solicitados. ### 2. Cálculo de \( f(0), f(1), f(-1) \) A função polinomial é dada por: \[ f(x) = x^{15} + x^{14} + x^{13} + \ldots + x^2 + x + 1 \] Essa é uma soma de uma progressão geométrica com 16 termos, onde a razão é \( x \). **Cálculo de \( f(0) \):** \[ f(0) = 0^{15} + 0^{14} + \ldots + 0^2 + 0 + 1 = 1 \] **Cálculo de \( f(1) \):** \[ f(1) = 1^{15} + 1^{14} + \ldots + 1^2 + 1 + 1 = 16 \] **Cálculo de \( f(-1) \):** \[ f(-1) = (-1)^{15} + (-1)^{14} + (-1)^{13} + \ldots + (-1)^2 + (-1) + 1 \] Os termos se alternam entre -1 e 1. Como temos 15 termos ímpares e 1 termo par, o resultado será: \[ f(-1) = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 0 \] Portanto, temos: \[ f(0) = 1, \quad f(1) = 16, \quad f(-1) = 0 \] ### 3. Cálculo de \( p(1+i) \) O polinômio é dado por: \[ p(x) = x^2 - 2x \] Substituindo \( x = 1+i \): \[ p(1+i) = (1+i)^2 - 2(1+i) \] Calculando \( (1+i)^2 \): \[ (1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \] Agora substituindo: \[ p(1+i) = 2i - 2(1+i) = 2i - 2 - 2i = -2 - i \] Portanto, temos: \[ p(1+i) = -2 - i \] ### 4. Determinação de \( a, b, c \) Queremos que a função \( f(x) = (a+b-5)x^2 + (b+c-7)x + (a+c) \) seja identicamente nula. Para isso, todos os coeficientes devem ser zero: 1. \( a + b - 5 = 0 \) 2. \( b + c - 7 = 0 \) 3. \( a + c = 0 \) Resolvendo o sistema: 1. Da primeira equação: \( a + b = 5 \) (1) 2. Da segunda: \( b + c = 7 \) (2) 3. Da terceira: \( a + c = 0 \) (3) implica \( c = -a \) Substituindo \( c \) na equação (2): \[ b - a = 7 \quad \Rightarrow \quad b = a + 7 \] Substituindo \( b \) na equação (1): \[ a + (a + 7) = 5 \quad \Rightarrow \quad 2a + 7 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2a = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -1 \] Substituindo \( a \) em \( b = a + 7 \): \[ b = -1 + 7 = 6 \] E substituindo \( a \) em \( c = -a \): \[ c = -(-1) = 1 \] Portanto, temos: \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = 1 \] ### 5. Cálculo de \( (f+g)(x), (g-h)(x) \) e \( (h-f)(x) \) Os polinômios são: \[ f(x) = 7 - 2x + 4x^2, \quad g(x) = 5 + x + x^2 + 5x^3, \quad h(x) = 2 - 3x + x^4 \] **Cálculo de \( (f+g)(x) \):** \[ (f+g)(x) = (7 - 2x + 4x^2) + (5 + x + x^2 + 5x^3) = (7 + 5) + (-2x + x) + (4x^2 + x^2) + 5x^3 \] \[ = 12 - x + 5x^2 + 5x^3 \] **Cálculo de \( (g-h)(x) \):** \[ (g-h)(x) = (5 + x + x^2 + 5x^3) - (2 - 3x + x^4) = (5 - 2) + (x + 3x) + x^2 - x^4 + 5x^3 \] \[ = 3 + 4x + x^2 + 5x^3 - x^4 \] **Cálculo de \( (h-f)(x) \):** \[ (h-f)(x) = (2 - 3x + x^4) - (7 - 2x + 4x^2) = (2 - 7) + (-3x + 2x) + (x^4 - 4x^2) \] \[ = -5 - x + x^4 - 4x^2 \] Portanto, temos: \[ (f+g)(x) = 12 - x + 5x^2 + 5x^3 \] \[ (g-h)(x) = 3 + 4x + x^2 + 5x^3 - x^4 \] \[ (h-f)(x) = -5 - x + x^4 - 4x^2 \] ### 6. Cálculo de \( (f \cdot g)(x), (g \cdot h)(x) \) e \( (h \cdot f)(x) \) Os polinômios são: \[ f(x) = 2 + 3x - 4x^2, \quad g(x) = 7 + x^2, \quad h(x) = 2x - 3x^2 + x^3 \] **Cálculo de \( (f \cdot g)(x) \):** \[ (f \cdot g)(x) = (2 + 3x - 4x^2)(7 + x^2) \] Multiplicando: \[ = 2 \cdot 7 + 2 \cdot x^2 + 3x \cdot 7 + 3x \cdot x^2 - 4x^2 \cdot 7 - 4x^2 \cdot x^2 \] \[ = 14 + 2x^2 + 21x + 3x^3 - 28x^2 - 4x^4 \] \[ = 14 + 21x + (2 - 28)x^2 + 3x^3 - 4x^4 \] \[ = 14 + 21x - 26x^2 + 3x^3 - 4x^4 \] **Cálculo de \( (g \cdot h)(x) \):** \[ (g \cdot h)(x) = (7 + x^2)(2x - 3x^2 + x^3) \] Multiplicando: \[ = 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-3x^2) + 7 \cdot x^3 + x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot (-3x^2) + x^2 \cdot x^3 \] \[ = 14x - 21x^2 + 7x^3 + 2x^3 - 3x^4 + x^5 \] \[ = 14x + (-21)x^2 + (7 + 2)x^3 - 3x^4 + x^5 \] \[ = 14x - 21x^2 + 9x^3 - 3x^4 + x^5 \] **Cálculo de \( (h \cdot f)(x) \):** \[ (h \cdot f)(x) = (2x - 3x^2 + x^3)(2 + 3x - 4x