\( \begin{array}{l}A=5^{2} \times 7^{4} \times 11^{p} \\ B=5^{m} \times 7^{n-5} \times 11 \\ m, n \text { and } p \text { are integers such that } \\ m>2 \\ n>10 \\ p>1\end{array} \) (b) Find the highest common factor (HCF) of \( A \) and \( B \) \( \quad \) Give your answer as a product of powers of its prime factors.

为了找到 \( A \) 和 \( B \) 的最大公约数 (HCF)，我们需要比较 \( A \) 和 \( B \) 中相同质因数的指数，并取这些指数的最小值。 首先，我们给出 \( A \) 和 \( B \) 的表达式： \[ A = 5^2 \times 7^4 \times 11^p \] \[ B = 5^m \times 7^{n-5} \times 11 \] 接下来，我们找出 \( A \) 和 \( B \) 中相同质因数的指数： 1. 对于质因数 5： - 在 \( A \) 中，指数是 2。 - 在 \( B \) 中，指数是 \( m \)。 - 由于 \( m > 2 \)，所以 \( m \) 的最小值是 3。 - 因此，\( A \) 和 \( B \) 中 5 的最小指数是 2。 2. 对于质因数 7： - 在 \( A \) 中，指数是 4。 - 在 \( B \) 中，指数是 \( n-5 \)。 - 由于 \( n > 10 \)，所以 \( n \) 的最小值是 11。 - 因此，\( n-5 \) 的最小值是 \( 11-5 = 6 \)。 - 因此，\( A \) 和 \( B \) 中 7 的最小指数是 4。 3. 对于质因数 11： - 在 \( A \) 中，指数是 \( p \)。 - 在 \( B \) 中，指数是 1。 - 由于 \( p > 1 \)，所以 \( p \) 的最小值是 2。 - 因此，\( A \) 和 \( B \) 中 11 的最小指数是 1。 现在，我们可以将这些最小指数组合起来，得到 \( A \) 和 \( B \) 的最大公约数 (HCF)： \[ \text{HCF}(A, B) = 5^2 \times 7^4 \times 11^1 \] 因此，\( A \) 和 \( B \) 的最大公约数是： \[ 5^2 \times 7^4 \times 11 \]