I. ¿Cuál es el punto que falta para que sean los vértices de un cuadrado? \( \square(1 ;-3) \square(3 ; 1) \square(-3 ; 1) \square(-3 ;-1) \)

Para determinar el punto que falta para que los puntos dados sean los vértices de un cuadrado, primero identificamos los puntos que ya tenemos: 1. \( A(1, -3) \) 2. \( B(3, 1) \) 3. \( C(-3, 1) \) 4. \( D(-3, -1) \) Ahora, vamos a verificar si estos puntos pueden formar un cuadrado. Para ello, calculamos las distancias entre los puntos y verificamos si se cumplen las propiedades de un cuadrado: cuatro lados de igual longitud y dos diagonales de igual longitud. 1. **Distancia entre \( A \) y \( B \)**: \[ d(A, B) = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 2. **Distancia entre \( A \) y \( C \)**: \[ d(A, C) = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 3. **Distancia entre \( A \) y \( D \)**: \[ d(A, D) = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] 4. **Distancia entre \( B \) y \( C \)**: \[ d(B, C) = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \] 5. **Distancia entre \( B \) y \( D \)**: \[ d(B, D) = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] 6. **Distancia entre \( C \) y \( D \)**: \[ d(C, D) = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \] Ahora, observamos que las distancias no son iguales, lo que indica que estos puntos no forman un cuadrado. Para encontrar el punto que falta, podemos observar que un cuadrado tiene dos pares de lados paralelos y de igual longitud. Si consideramos que los puntos \( A \) y \( B \) son dos vértices de un cuadrado, podemos encontrar el cuarto vértice usando la propiedad de los vectores. Si tomamos \( A(1, -3) \) y \( B(3, 1) \), el vector \( \overrightarrow{AB} \) es: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 1 - (-3)) = (2, 4) \] Para encontrar el punto que falta, podemos rotar este vector 90 grados en ambas direcciones para encontrar los otros dos vértices. Rotando \( \overrightarrow{AB} \) 90 grados en sentido horario: \[ \overrightarrow{AC} = (4, -2) \] Entonces, el punto \( C \) sería: \[ C = A + \overrightarrow{AC} = (1 + 4, -3 - 2) = (5, -5) \] Rotando \( \overrightarrow{AB} \) 90 grados en sentido antihorario: \[ \overrightarrow{AD} = (-4, 2) \] Entonces, el punto \( D \) sería: \[ D = A + \overrightarrow{AD} = (1 - 4, -3 + 2) = (-3, -1) \] Por lo tanto, el punto que falta para que los puntos dados sean los vértices de un cuadrado es \( (5, -5) \).