A bag contains 3 gold marbles, 10 silver marbles, and 29 black marbles. Someone offers to play this game: You randomly select one marble from the bag. If it is gold, you win \( \$ 4 \). If it is silver, you win \( \$ 2 \). If it is black, you lose \( \$ 1 \). What is your expected value if you play this game? Question Help: Add Work

\( ( y + x ) d y = ( y - x ) d x \)

14. (a) Verificar que \( [\operatorname{senh}(x)]^{\prime}=\cosh (x) \) y que \( [\cosh (x)]^{\prime}=\operatorname{senh}(x) \).

(b) Con los resultados obtenidos en el inciso anterior, calcular la derivada de las siguientes funciones: \( \begin{array}{ll}\text { (i) } g(x)=\tanh x & \text { (ii) } g(x)=\operatorname{sech}(x) \\ \text { (iii) } g(x)=\operatorname{cotanh} x & \text { (iv) } g(x)=\operatorname{cosech}(x)\end{array} \)

29. Let \[ A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] \] We wish to determine all \( 4 \times 3 \) matrices \( X \) for which \( A X A=A \) Observe that \[ P A Q=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \] where \( P \) and \( Q \) are the invertible matrices \[ P=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right] \text { and } Q=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \] (a) Explain how you can use this to convert the problem of finding all \( X \) so that \( A X A=A \) to finding all \( 4 \times 3 \) matrices \( Y \) so that \( B Y B=B \), where \( B=P A Q \). Make sure to indicate how \( X \) and \( Y \) are related. (b) Find all \( Y \) so that \( B Y B=B \). (c) Use your answer in (b) to find all \( X \) so that \( A X A=A \). (d) Give 2 explicit \( X \) with \( A X A=A \).

Actualmente, se cuenta con un stock de 15 tazas de azúcar, 24 huevos y 11 litros de leche. No hay límite en los demás ingredientes (fresas, chocolates y queso). Con esta información, determina: ¿Cuántas porciones de cada tipo de producto se pueden realizar considerando los insumos con los que se cuenta (azúcar, huevos y leche)? El siguiente sistema de ecuaciones se establece con los insumos necesarios para cada producto con la disponibilidad actual en stock. \[ \begin{array}{ll}3 b+2 p+2 r=15 \\ 2 b+5 p+4 r=24 \\ 1 b+2 p+2 r=11\end{array} \]