Exercice B On définit une suite $$ \left(u_{n}\right) $$ par $$ \left\{u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n}+2 n-i\right. $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. (1) Calculer les premiers termes de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$. Que peut-on conjecturer concernant sa nature et son sens de variation? (2) On pose $$ v_{n}=u_{n}-4 n+10 $$. a) Montrer que $$ \left(v_{n}\right) $$ est une suite géométrique que l'on caractérisera. b) En déduire l'expression de $$ v_{n} $$ en fonction de $$ n $$ puis celle de $$ u_{n} $$ en fonction de $$ n $$. c) On pose $$ s_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n} $$. Donner l'expression de $$ s_{n} $$ en fonction de $$ n . ~ $$

Question

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### (1) Calcul des premiers termes de la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ - Pour $$ n = 0 $$ : $$ u_1 = \frac{1}{2} u_0 - i $$ - Pour $$ n = 1 $$ : $$ u_2 = \frac{1}{4} u_0 + 2 - \frac{3}{2} i $$ - Pour $$ n = 2 $$ : $$ u_3 = \frac{1}{8} u_0 + 5 - \frac{7}{4} i $$ ### (2) Transformation de la suite #### a) Montrer que $$ \left(v_n\right) $$ est une suite affine $$ v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n + (1 - i) $$ #### b) Expression de $$ v_n $$ en fonction de $$ n $$ $$ v_n = \frac{1}{2^n} v_0 + (1 - i) $$ #### c) Expression de $$ s_n $$ $$ s_n = \sum_{k=0}^{n} v_k + 2n(n + 1) - 10(n + 1) $$

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