2) Obtener la medida de cada ángulo interior del triángulo cuyos vértices son \( (-3,0),(3,6) \), y \( (4,-1) \). Realiza la gráfica 3) Dos rectas se cortan formando un ángulo de \( 135^{\circ} \). Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial.

Para resolver los problemas planteados, vamos a abordarlos uno por uno. ### Problema 2: Medidas de los ángulos interiores de un triángulo Los vértices del triángulo son \( A(-3,0) \), \( B(3,6) \) y \( C(4,-1) \). 1. **Calcular las longitudes de los lados del triángulo** usando la fórmula de la distancia entre dos puntos: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] - Longitud del lado \( AB \): \[ AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] - Longitud del lado \( BC \): \[ BC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] - Longitud del lado \( CA \): \[ CA = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(4 + 3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 2. **Usar la ley de cosenos** para encontrar los ángulos: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] donde \( a, b, c \) son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos \( A, B, C \) respectivamente. - Para el ángulo \( A \): \[ AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos(A) \] \[ (6\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot \cos(A) \] \[ 72 = 50 + 50 - 50 \cdot \cos(A) \] \[ 72 = 100 - 50 \cdot \cos(A) \] \[ 50 \cdot \cos(A) = 100 - 72 \] \[ 50 \cdot \cos(A) = 28 \implies \cos(A) = \frac{28}{50} = \frac{14}{25} \] \[ A = \cos^{-1}\left(\frac{14}{25}\right) \] - Para el ángulo \( B \): \[ BC^2 = CA^2 + AB^2 - 2 \cdot CA \cdot AB \cdot \cos(B) \] \[ (5\sqrt{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (6\sqrt{2}) \cdot \cos(B) \] \[ 50 = 50 + 72 - 60 \cdot \cos(B) \] \[ 50 = 122 - 60 \cdot \cos(B) \] \[ 60 \cdot \cos(B) = 122 - 50 \] \[ 60 \cdot \cos(B) = 72 \implies \cos(B) = \frac{72}{60} = \frac{6}{5} \text{ (no es posible)} \] - Para el ángulo \( C \): \[ CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(C) \