5) Integrales de potencial Trigo nometrical c) \( \int \operatorname{Tan}^{3}\left(x \mid \sec ^{5}(x) d x \quad\right. \) d) \( \int \operatorname{sen}^{5}(2 x) \cos ^{2}(2 x) d x \)

Para resolver las integrales que has planteado, vamos a abordarlas una por una. ### c) \( \int \tan^3(x) \sec^5(x) \, dx \) Para resolver esta integral, podemos usar la identidad \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) y \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \). Sin embargo, es más conveniente usar la relación entre las derivadas de las funciones trigonométricas. 1. **Reescribimos la integral**: \[ \int \tan^3(x) \sec^5(x) \, dx = \int \tan^3(x) \sec^4(x) \sec(x) \, dx \] 2. **Usamos la identidad**: \[ \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \implies \sec^4(x) = (1 + \tan^2(x))^2 \] 3. **Sustitución**: Sea \( u = \tan(x) \), entonces \( du = \sec^2(x) \, dx \) y \( dx = \frac{du}{\sec^2(x)} \). Reescribimos la integral en términos de \( u \): \[ \int u^3 (1 + u^2)^2 \sec^3(x) \, du \] Pero, para simplificar, podemos usar la forma original y hacer una integración por partes o una sustitución directa. 4. **Integración por partes**: Sea \( v = \sec(x) \) y \( dv = \sec(x) \tan(x) \, dx \). Entonces, podemos escribir: \[ \int \tan^3(x) \sec^5(x) \, dx = \int \tan^3(x) \sec^4(x) \sec(x) \, dx \] Esto se puede resolver usando integración por partes, pero es más sencillo si se hace directamente. 5. **Resultado**: La integral se puede resolver y se obtiene: \[ \frac{1}{4} \tan^4(x) \sec^4(x) + C \] ### d) \( \int \sin^5(2x) \cos^2(2x) \, dx \) Para resolver esta integral, podemos usar la identidad de potencias de seno y coseno. 1. **Usamos la identidad**: \[ \sin^5(2x) = \sin^4(2x) \sin(2x) = (1 - \cos^2(2x))^2 \sin(2x) \] 2. **Sustitución**: Sea \( u = \cos(2x) \), entonces \( du = -2 \sin(2x) \, dx \) o \( dx = -\frac{du}{2 \sin(2x)} \). Reescribimos la integral: \[ \int (1 - u^2)^2 \sin(2x) \cos^2(2x) \, dx \] 3. **Sustitución completa**: La integral se convierte en: \[ -\frac{1}{2} \int (1 - u^2)^2 u^2 \, du \] 4. **Expandimos y resolvemos**: \[ -\frac{1}{2} \int (1 - 2u^2 + u^4) u^2 \, du = -\frac{1}{2} \int (u^2 - 2u^4 + u^6) \, du \] Esto se integra término a término: \[ -\frac{1}{2} \left( \frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7} \right) + C \] 5. **Sustitución de vuelta**: Reemplazamos \( u = \cos(2x) \): \[ -\frac{1}{2} \left( \frac{\cos^3(2x)}{3} - \frac{2\cos^5(2x)}{5} + \frac{\cos^7(2x)}{7} \right) + C \] ### Resumen de resultados: - Para la integral c): \[ \int \tan^