EJERCICIO 26. Grafique \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}, & x \neq 1 \\ 0, & x=1\end{array}\right. \] \( \begin{array}{ll}\text { (a) Encuentre } \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \text { y } \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) . & \text { (b) } i \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \text { existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta e } \\ \text { negativa, explique por qué. }\end{array} \)

Para resolver el ejercicio, vamos a analizar la función \( f(x) \) y calcular los límites solicitados. La función está definida como: \[ f(x) = \begin{cases} x^3, & x \neq 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases} \] ### (a) Cálculo de los límites 1. **Límite cuando \( x \) tiende a 1 desde la derecha (\( x \rightarrow 1^{+} \))**: Para \( x \) cercano a 1 pero mayor que 1, utilizamos la definición de la función \( f(x) = x^3 \). \[ \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} x^3 = 1^3 = 1 \] 2. **Límite cuando \( x \) tiende a 1 desde la izquierda (\( x \rightarrow 1^{-} \))**: Para \( x \) cercano a 1 pero menor que 1, también utilizamos la definición de la función \( f(x) = x^3 \). \[ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} x^3 = 1^3 = 1 \] ### (b) Existencia del límite Ahora, evaluamos si el límite \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) existe. El límite existe si ambos límites laterales son iguales: \[ \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = 1 \] Dado que ambos límites son iguales, podemos concluir que: \[ \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 \] Sin embargo, es importante notar que \( f(1) = 0 \). Por lo tanto, aunque el límite existe y es igual a 1, el valor de la función en \( x = 1 \) no coincide con este límite. ### Resumen de respuestas - (a) \( \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = 1 \) y \( \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = 1 \). - (b) \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) existe y es igual a 1, pero \( f(1) = 0 \), lo que indica que hay una discontinuidad en \( x = 1 \). ### Gráfica de la función Para graficar la función \( f(x) \): - Para \( x \neq 1 \), la gráfica es la curva de \( y = x^3 \). - En \( x = 1 \), hay un punto que se encuentra en \( (1, 0) \). La gráfica se verá como una curva suave que pasa por el origen y se eleva hacia la derecha, con un punto vacío en \( (1, 1) \) y un punto sólido en \( (1, 0) \).