1.- Dotermina el rango ta media, la varianna y la desviacion estindar muestrales y potblacionales y CV de lo siguientes números: \( 6,3,6,5,4,5,2,8,6 \)

Para calcular el rango, la media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación (CV) de los números \( 6, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6 \), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Rango El rango se calcula como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo. - Valor máximo: \( 8 \) - Valor mínimo: \( 2 \) \[ \text{Rango} = \text{Máximo} - \text{Mínimo} = 8 - 2 = 6 \] ### 2. Media La media se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número de valores. \[ \text{Media} = \frac{6 + 3 + 6 + 5 + 4 + 5 + 2 + 8 + 6}{9} = \frac{45}{9} = 5 \] ### 3. Varianza La varianza se calcula de la siguiente manera: #### Varianza muestral (\( s^2 \)): \[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \] #### Varianza poblacional (\( \sigma^2 \)): \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \] Donde: - \( \bar{x} \) es la media muestral. - \( \mu \) es la media poblacional (en este caso, es igual a \( \bar{x} \)). - \( n \) es el número de datos en la muestra. - \( N \) es el número total de datos en la población. Primero, calculamos las diferencias al cuadrado respecto a la media: \[ \begin{align*} (6 - 5)^2 & = 1 \\ (3 - 5)^2 & = 4 \\ (6 - 5)^2 & = 1 \\ (5 - 5)^2 & = 0 \\ (4 - 5)^2 & = 1 \\ (5 - 5)^2 & = 0 \\ (2 - 5)^2 & = 9 \\ (8 - 5)^2 & = 9 \\ (6 - 5)^2 & = 1 \\ \end{align*} \] Sumamos estas diferencias al cuadrado: \[ 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 0 + 9 + 9 + 1 = 26 \] Ahora calculamos la varianza: - Varianza muestral: \[ s^2 = \frac{26}{9 - 1} = \frac{26}{8} = 3.25 \] - Varianza poblacional: \[ \sigma^2 = \frac{26}{9} \approx 2.89 \] ### 4. Desviación estándar La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. - Desviación estándar muestral: \[ s = \sqrt{3.25} \approx 1.80 \] - Desviación estándar poblacional: \[ \sigma = \sqrt{2.89} \approx 1.70 \] ### 5. Coeficiente de variación (CV) El coeficiente de variación se calcula como la desviación estándar dividida por la media, expresado como un porcentaje. \[ CV = \left( \frac{s}{\bar{x}} \right) \times 100 \quad \text{(muestral)} \] \[ CV = \left( \frac{\sigma}{\mu} \right) \times 100 \quad \text{(poblacional)} \] Calculamos el CV: - CV muestral: \[ CV = \left( \frac{1.80}{5} \right) \times 100 \approx 36\% \] - CV poblacional: \[ CV = \left( \frac{1.70}{5} \right) \times 100 \approx 34\% \] ### Resumen de resultados - Rango: \( 6 \) - Media: \( 5 \) - Varianza muestral: \( 3.25 \) - Varianza poblacional: \( 2.89 \) - Desviación estándar muestral: \( 1.80 \) - Desviación estándar poblacional: \( 1.70 \) - Coeficiente de