15. Determine, se existirem, os zeros da função e as coordenadas do vertice da parábola que representa o gráfico das funçōes quadráticas definidas a seguir. a) \( y=x^{2}-6 x+5 \) b) \( y=3 x^{2}-4 x \) c) \( y=-x^{2}+x-3 \) d) \( y=x^{2}-9 \) e) \( y=-6 x^{2} \) f) \( y=4 x^{2}-x+\frac{3}{5} \)

Para determinar os zeros das funções quadráticas e as coordenadas do vértice das parábolas, utilizaremos a fórmula do discriminante e a fórmula do vértice. A forma geral de uma função quadrática é \( y = ax^2 + bx + c \). Os zeros da função são encontrados resolvendo a equação \( ax^2 + bx + c = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] onde \( \Delta = b^2 - 4ac \). As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] \[ y_v = -\frac{\Delta}{4a} \] Agora, vamos aplicar isso a cada uma das funções. ### a) \( y = x^2 - 6x + 5 \) - Coeficientes: \( a = 1, b = -6, c = 5 \) - Discriminante: \( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \) - Zeros: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] - Vértice: \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \] \[ y_v = -\frac{16}{4 \cdot 1} = -4 \] - **Zeros:** \( x = 1, 5 \); **Vértice:** \( (3, -4) \) ### b) \( y = 3x^2 - 4x \) - Coeficientes: \( a = 3, b = -4, c = 0 \) - Discriminante: \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 16 \) - Zeros: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 4}{6} \] \[ x_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{0}{6} = 0 \] - Vértice: \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ y_v = -\frac{16}{4 \cdot 3} = -\frac{4}{3} \] - **Zeros:** \( x = 0, \frac{4}{3} \); **Vértice:** \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right) \) ### c) \( y = -x^2 + x - 3 \) - Coeficientes: \( a = -1, b = 1, c = -3 \) - Discriminante: \( \Delta = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 1 - 12 = -11 \) - Zeros: Não existem (discriminante negativo). - Vértice: \[ x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \] \[ y_v = -\frac{-11}{4 \cdot (-1)} = \frac{11}{4} \] - **Zeros:** Não existem; **Vértice:** \( \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right) \) ### d) \( y = x^2 - 9 \) - Coeficientes: \( a = 1, b = 0, c = -9 \) - Discriminante: \( \Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 \) - Zeros: \[ x = \frac{0 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \