4) Determinar el valor de "K" de modo gue \( l 0 s \) watro puntos A \( (1,2,-1) ; B(0,1,5) ; C(-2,2,1) \) y \( D(K, 1,3) \) eotén en un mismo ptono.

Para determinar el valor de \( K \) de modo que los puntos \( A(1,2,-1) \), \( B(0,1,5) \), \( C(-2,2,1) \) y \( D(K, 1, 3) \) estén en un mismo plano, podemos usar el concepto de determinante. Cuatro puntos son coplanarios si el determinante de la matriz formada por sus vectores de posición es igual a cero. Primero, formamos los vectores \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) y \( \vec{AD} \): \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 5 - (-1)) = (-1, -1, 6) \] \[ \vec{AC} = C - A = (-2 - 1, 2 - 2, 1 - (-1)) = (-3, 0, 2) \] \[ \vec{AD} = D - A = (K - 1, 1 - 2, 3 - (-1)) = (K - 1, -1, 4) \] Ahora, formamos la matriz con estos vectores: \[ \begin{vmatrix} -1 & -1 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \\ K - 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \begin{vmatrix} -1 & -1 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \\ K - 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ K - 1 & 4 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ K - 1 & -1 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes 2x2: 1. \( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (0)(4) - (2)(-1) = 2 \) 2. \( \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ K - 1 & 4 \end{vmatrix} = (-3)(4) - (2)(K - 1) = -12 - 2(K - 1) = -12 - 2K + 2 = -10 - 2K \) 3. \( \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ K - 1 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (0)(K - 1) = 3 \) Sustituyendo estos resultados en el determinante original: \[ -1(2) + 1(-10 - 2K) + 6(3) = -2 - 10 - 2K + 18 = 6 - 2K \] Para que los puntos sean coplanarios, este determinante debe ser igual a cero: \[ 6 - 2K = 0 \] Resolviendo para \( K \): \[ 2K = 6 \\ K = 3 \] Por lo tanto, el valor de \( K \) que hace que los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) sean coplanarios es: \[ \boxed{3} \]