Los puntos de inflexión de la función \( f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x \) son

Para encontrar los puntos de inflexión de la función \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x \), primero necesitamos calcular la segunda derivada de la función. 1. **Calcular la primera derivada \( f'(x) \)**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x) = 6x^2 - 18x + 12 \] 2. **Calcular la segunda derivada \( f''(x) \)**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18 \] 3. **Encontrar los puntos donde la segunda derivada es igual a cero**: Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero: \[ 12x - 18 = 0 \] Resolviendo para \( x \): \[ 12x = 18 \\ x = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \] 4. **Verificar el cambio de concavidad**: Para confirmar que \( x = \frac{3}{2} \) es un punto de inflexión, podemos evaluar la segunda derivada en valores cercanos a \( \frac{3}{2} \): - Para \( x < \frac{3}{2} \) (por ejemplo, \( x = 1 \)): \[ f''(1) = 12(1) - 18 = 12 - 18 = -6 \quad (\text{concavidad hacia abajo}) \] - Para \( x > \frac{3}{2} \) (por ejemplo, \( x = 2 \)): \[ f''(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \quad (\text{concavidad hacia arriba}) \] Dado que la concavidad cambia de hacia abajo a hacia arriba en \( x = \frac{3}{2} \), podemos concluir que hay un punto de inflexión en \( x = \frac{3}{2} \). 5. **Encontrar la coordenada \( y \)**: Para encontrar la coordenada \( y \) del punto de inflexión, evaluamos \( f \) en \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(\frac{3}{2}\right) \] Calculamos cada término: \[ = 2 \cdot \frac{27}{8} - 9 \cdot \frac{9}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2} \] \[ = \frac{54}{8} - \frac{81}{4} + 18 \] \[ = \frac{54}{8} - \frac{162}{8} + \frac{144}{8} \] \[ = \frac{54 - 162 + 144}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \] Por lo tanto, el punto de inflexión es: \[ \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right) \] **Respuesta final**: El punto de inflexión de la función \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x \) es \( \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right) \).