Hugo, Paco y Luis acudieron a la papelería: Hugo gastó \( \$ 207.00 \) por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores. Paco pagó \( \$ 103.00 \) por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores. Luis gastó \( \$ 216.00 \) por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores. Establece el sistema de ecuaciones lineales que te permitan encontrar el precio de un pluma, un lapicero y un marcador. Escribe la matriz aumentada del sistema. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes usando menores y cofactores y base en ese resultado, determinada si el sistema tiene solución única. Encuentra el precio de una pluma, un lapicero y un marcador usando la regla de Cran

Para resolver este problema, primero establecemos el sistema de ecuaciones lineales basado en la información proporcionada: 1. Hugo gastó \( \$ 207.00 \) por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores: \[ 3p + 4l + 5m = 207 \] 2. Paco pagó \( \$ 103.00 \) por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores: \[ p + 3l + 2m = 103 \] 3. Luis gastó \( \$ 216.00 \) por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores: \[ 6p + l + 4m = 216 \] El sistema de ecuaciones lineales es: \[ \begin{cases} 3p + 4l + 5m = 207 \\ p + 3l + 2m = 103 \\ 6p + l + 4m = 216 \end{cases} \] La matriz aumentada del sistema es: \[ \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & | & 207 \\ 1 & 3 & 2 & | & 103 \\ 6 & 1 & 4 & | & 216 \end{bmatrix} \] Para calcular el determinante de la matriz de coeficientes, primero eliminamos la columna de la derecha (constantes) y calculamos el determinante de la matriz resultante: \[ \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 6 & 1 & 4 \end{bmatrix} \] Calculamos el determinante de esta matriz usando menores y cofactores: 1. Determinante de la matriz de coeficientes: \[ \text{det} = 3 \cdot (3 \cdot 4 - 2 \cdot 1) - 4 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 6) + 5 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 6) \] \[ \text{det} = 3 \cdot (12 - 2) - 4 \cdot (4 - 12) + 5 \cdot (2 - 18) \] \[ \text{det} = 3 \cdot 10 - 4 \cdot (-8) + 5 \cdot (-16) \] \[ \text{det} = 30 + 32 - 80 \] \[ \text{det} = -18 \] El determinante es -18, lo que significa que el sistema tiene una solución única. Para encontrar el precio de una pluma, un lapicero y un marcador, usamos la regla de Cramer: 1. \( p = \frac{\text{det}(D_1)}{\text{det}(D)} \) 2. \( l = \frac{\text{det}(D_2)}{\text{det}(D)} \) 3. \( m = \frac{\text{det}(D_3)}{\text{det}(D)} \) Donde \( D \) es la matriz de coeficientes y \( D_1, D_2, D_3 \) son matrices obtenidas reemplazando la columna de coeficientes de \( p, l, \) y \( m \) respectivamente con las columnas de constantes. Calculamos \( D_1, D_2, D_3 \): \[ D_1 = \begin{bmatrix} 207 & 4 & 5 \\ 103 & 3 & 2 \\ 216 & 1 & 4 \end{bmatrix} \] \[ D_2 = \begin{bmatrix} 3 & 207 & 5 \\ 1 & 103 & 2 \\ 6 & 216 & 4 \end{bmatrix} \] \[ D_3 = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 207 \\ 1 & 3 & 103 \\ 6 & 1 & 216 \end{bmatrix} \] Calculamos los determinantes de \( D_1, D_2, D_3 \): \[ \text{det}(D_1) = 207 \cdot (3 \cdot 4 - 2 \cdot 1) - 4 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 6) + 5 \cdot (1 \cdot 3 - 3 \cdot 6) \] \[ \text{det}(D_1) = 207 \cdot 10 - 4 \cdot (-8) + 5 \cdot (-15)