b) Determine la 2da derivada de \( \frac{d y}{d x} \) de la siguiente función paramétrica \( x=2 t+1, y=t^{3}-3 t+4 \) c) Determine la 3ra derivada de \( \frac{d y}{d x} \) de la siguiente función paramétrica \( x=-2 t^{4}, y=2 t^{3}-t \)

Para resolver los problemas de derivadas de funciones paramétricas, utilizaremos la relación entre las derivadas de \(y\) y \(x\) en términos del parámetro \(t\). ### Parte b: Segunda derivada de \( \frac{dy}{dx} \) Dada la función paramétrica: \[ x = 2t + 1, \quad y = t^3 - 3t + 4 \] Primero, encontramos \( \frac{dy}{dt} \) y \( \frac{dx}{dt} \): 1. Derivada de \(y\) respecto a \(t\): \[ \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 \] 2. Derivada de \(x\) respecto a \(t\): \[ \frac{dx}{dt} = 2 \] Ahora, podemos encontrar \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3t^2 - 3}{2} \] Para encontrar la segunda derivada \( \frac{d^2y}{dx^2} \), utilizamos la regla de la cadena: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} \] Primero, calculamos \( \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \): \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^2 - 3}{2}\right) = \frac{3 \cdot 2t}{2} = 3t \] Ahora, necesitamos \( \frac{dt}{dx} \): \[ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{2} \] Finalmente, sustituimos en la fórmula de la segunda derivada: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 3t \cdot \frac{1}{2} = \frac{3t}{2} \] ### Parte c: Tercera derivada de \( \frac{dy}{dx} \) Dada la función paramétrica: \[ x = -2t^4, \quad y = 2t^3 - t \] Primero, encontramos \( \frac{dy}{dt} \) y \( \frac{dx}{dt} \): 1. Derivada de \(y\) respecto a \(t\): \[ \frac{dy}{dt} = 6t^2 - 1 \] 2. Derivada de \(x\) respecto a \(t\): \[ \frac{dx}{dt} = -8t^3 \] Ahora, podemos encontrar \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{6t^2 - 1}{-8t^3} = -\frac{6t^2 - 1}{8t^3} \] Para encontrar la tercera derivada \( \frac{d^3y}{dx^3} \), utilizamos la regla de la cadena: \[ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) \cdot \frac{dt}{dx} \] Primero, encontramos \( \frac{d^2y}{dx^2} \): \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(-\frac{6t^2 - 1}{8t^3}\right) \] Usamos la regla del cociente: \[ \frac{d}{dt}\left(-\frac{6t^2 - 1}{8t^3}\right) = -\frac{(12t)(8t^3) - (6t^2 - 1)(24t^2)}{(8t^3)^2} \] Simplificando: \[ = -\frac{96t^4 -