3. Cuando los discos duros de la marca He, se prueban el porcentoje de defectuosos es de 1/2, donde el númera de discos duros defectuosos en una muestra aleotoria de tamaño es de 5 , as/que \( 8 \sim x \), representar lo probabilidad en una tobla de distribución y graficar.

Para resolver este problema, primero debemos entender que se nos está pidiendo. Tenemos una marca de discos duros (He) con una tasa de defectuosos de 1/2, y en una muestra aleatoria de discos duros, hay 5 defectuosos. Se nos pide encontrar la probabilidad de que entre 8 y x discos duros sean defectuosos y representar esta probabilidad en una tabla de distribución y graficarla. Para comenzar, definamos el problema matemáticamente. Supongamos que X es la variable aleatoria que representa el número de discos duros defectuosos en una muestra de tamaño n. Dado que la probabilidad de que un disco duro sea defectuoso es 1/2, X sigue una distribución binomial con parámetros n = 10 (porque hay 5 defectuosos en una muestra de 10) y p = 1/2. La distribución binomial se representa como: \[ X \sim B(n, p) \] donde: - \( n = 10 \) - \( p = 1/2 \) La probabilidad de que X sea igual a un valor específico k se calcula con la fórmula: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Para encontrar la probabilidad de que entre 8 y x discos duros sean defectuosos, calculamos la probabilidad de que X sea menor o igual a x y restamos la probabilidad de que X sea menor o igual a 7: \[ P(8 \leq X \leq x) = P(X \leq x) - P(X \leq 7) \] Vamos a calcular esto para diferentes valores de x y representar la probabilidad en una tabla de distribución. | X | P(X = x) | |---|----------| | 8 | Calcula | | 9 | Calcula | | 10 | Calcula | Para calcular P(X = x) para x = 8, 9, y 10, utilizamos la fórmula de la distribución binomial: \[ P(X = x) = \binom{10}{x} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{10-x} \] Vamos a calcular las probabilidades: Para x = 8: \[ P(X = 8) = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \] Para x = 9: \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} \left(\frac{1}{2}\right)^9 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \binom{10}{9} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \] Para x = 10: \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^0 = \binom{10}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \] Calculamos las combinaciones y las probabilidades: | X | P(X = x) | |---|----------| | 8 | \(\binom{10}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\) | | 9 | \(\binom{10}{9} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\) | | 10 | \(\binom{10}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\) | Para graficar, podemos usar un gráfico de barras donde el eje X represente los valores de X (8, 9, 10) y el eje Y represente las probabilidades calculadas. Aquí tienes un ejemplo de cómo podría verse el gráfico: ``` P(X = x) | | * | * | * | * | * | * | * | * | * | * |____________________ X 8 9 10 ``` Este gráfico muestra las probabilidades calculadas para cada valor de X.