Calcola la misura del raggio di una circonferenza cui appartiene un arco lungo \( 18 \pi \mathrm{~cm} \) e il cui angolo al ce corrispondente è ampio \( 37^{\circ} 30^{\prime} \).

Per calcolare il raggio della circonferenza, possiamo utilizzare la formula che collega l'arco, il raggio e l'angolo al centro: \[ L = r \cdot \theta \] dove: - \( L \) è la lunghezza dell'arco, - \( r \) è il raggio della circonferenza, - \( \theta \) è l'angolo al centro in radianti. Prima di tutto, dobbiamo convertire l'angolo \( 37^{\circ} 30^{\prime} \) in radianti. 1. Convertiamo i gradi in radianti: \[ 37^{\circ} = 37 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{37\pi}{180} \] 2. Convertiamo i minuti in gradi e poi in radianti: \[ 30^{\prime} = 30 \cdot \frac{1}{60} = 0.5^{\circ} = 0.5 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{0.5\pi}{180} = \frac{\pi}{360} \] 3. Sommiamo i due risultati: \[ \theta = \frac{37\pi}{180} + \frac{\pi}{360} \] Per sommare, portiamo il secondo termine a un denominatore comune: \[ \frac{\pi}{360} = \frac{1\pi}{360} = \frac{1\pi \cdot 2}{360 \cdot 2} = \frac{2\pi}{720} \] \[ \frac{37\pi}{180} = \frac{37\pi \cdot 4}{180 \cdot 4} = \frac{148\pi}{720} \] Quindi: \[ \theta = \frac{148\pi}{720} + \frac{2\pi}{720} = \frac{150\pi}{720} = \frac{5\pi}{24} \] Ora possiamo sostituire i valori nella formula dell'arco: \[ L = r \cdot \theta \implies 18\pi = r \cdot \frac{5\pi}{24} \] Dividiamo entrambi i lati per \( \pi \): \[ 18 = r \cdot \frac{5}{24} \] Ora isoliamo \( r \): \[ r = 18 \cdot \frac{24}{5} = \frac{432}{5} = 86.4 \, \text{cm} \] Quindi, la misura del raggio della circonferenza è: \[ \boxed{86.4 \, \text{cm}} \]