2. Halle el resultado mediante los cocientes notables. a. \( \frac{1+a^{2}}{1+a} \) b. \( \frac{p^{2}-1}{1-1} \) c. \( \frac{16 \rho^{1}-81}{20+3} \) d. \( \frac{m^{3}-256}{m-2} \) e. \( \frac{k^{n}-1}{k-1} \)

Para resolver los cocientes notables que has planteado, vamos a simplificar cada uno de ellos. ### a. \( \frac{1+a^{2}}{1+a} \) Podemos reescribir \( 1 + a^2 \) como \( (1 + a)(1 - a) + 1 \). Sin embargo, una forma más directa es dividir: \[ \frac{1 + a^2}{1 + a} = \frac{(1 + a)(1 - a) + 1}{1 + a} = 1 - a + \frac{1}{1 + a} \] Por lo tanto, el resultado es: \[ 1 - a + \frac{1}{1 + a} \] ### b. \( \frac{p^{2}-1}{1-1} \) Aquí hay un problema, ya que el denominador \( 1 - 1 = 0 \). Esto significa que la expresión no está definida. Por lo tanto, no se puede simplificar. ### c. \( \frac{16 \rho^{1}-81}{20+3} \) Primero, simplificamos el denominador: \[ 20 + 3 = 23 \] Ahora, el numerador \( 16\rho - 81 \) no se puede simplificar directamente, pero podemos escribirlo como: \[ 16\rho - 81 = 16\rho - 81 = 16\rho - 3^4 \] No hay un cociente notable que aplicar aquí, así que simplemente lo dejamos como: \[ \frac{16\rho - 81}{23} \] ### d. \( \frac{m^{3}-256}{m-2} \) Aquí podemos notar que \( 256 = 2^8 \), así que podemos usar la diferencia de cubos: \[ m^3 - 256 = m^3 - 2^8 = (m - 2)(m^2 + 2m + 4) \] Por lo tanto, al dividir: \[ \frac{m^3 - 256}{m - 2} = m^2 + 2m + 4 \] ### e. \( \frac{k^{n}-1}{k-1} \) Esta es una forma del teorema del binomio, que se puede simplificar usando la fórmula de la suma de una serie geométrica: \[ \frac{k^n - 1}{k - 1} = k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + k + 1 \] Por lo tanto, el resultado es: \[ k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + k + 1 \] ### Resumen de resultados: a. \( 1 - a + \frac{1}{1 + a} \) b. No definido. c. \( \frac{16\rho - 81}{23} \) d. \( m^2 + 2m + 4 \) e. \( k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + k + 1 \)