Verificar que la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \). \( \ln x \) satisface la ecuación diferencia \[ 4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0 \text { para todo } x>0 \]

Para verificar que la función \( y = 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} \ln x \) satisface la ecuación diferencial \[ 4 x^{2} y^{\prime \prime} + y = 0 \text{ para todo } x > 0, \] primero necesitamos calcular las derivadas de \( y \). 1. **Calcular la primera derivada \( y' \)**: La función es \[ y = 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} \ln x. \] Utilizamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2 \sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \ln x). \] La derivada de \( 2 \sqrt{x} \) es: \[ \frac{d}{dx}(2 \sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Para la derivada de \( \sqrt{x} \ln x \), aplicamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \ln x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x). \] Calculamos cada parte: - La derivada de \( \sqrt{x} \) es \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). - La derivada de \( \ln x \) es \( \frac{1}{x} \). Por lo tanto, \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x} \ln x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Entonces, la primera derivada \( y' \) es: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \frac{1}{\sqrt{x}} \right). \] Simplificando, obtenemos: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x - \frac{1}{\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x. \] 2. **Calcular la segunda derivada \( y'' \)**: Ahora derivamos \( y' \): \[ y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x. \] Usamos la regla del producto y la regla de la cadena: \[ y'' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right). \] Aplicamos la regla del producto: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x} - \ln x \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right). \] La derivada de \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) es: \[ -\frac{1}{2} x^{-3/2}. \] Por lo tanto, \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right) = \frac{1}{x\sqrt{x}} + \ln x \cdot \frac{1}{2} x^{-3/2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{2x^{3/2}}. \] Entonces, \[ y'' = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{2x^{3/2}} \right) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} - \frac{\ln x}{4x^{3/2}}. \] 3. **Sustitución en la ecuación diferencial**: Ahora sustituimos \( y \) y \( y'' \) en la ecuación diferencial: \[ 4x^2 y'' + y = 0. \] Sustituyendo \( y'' \): \[ 4