Schmidt Stewart
06/27/2024 · Elementary School
1) Démontrer que: \( P(z)=z^{2}+(1-2 i) z+7-i \quad(z \in C) \), est le produit de deux polynômes du \( 1^{\text {II }} \) degré. On considère sur \( C \) l'équation \( (E) \) : \( t^{2}-3 z t+2 z^{2}+i z+1=0 \) Ou t est l'inconnue et \( z \) paramètre complexe. a) Déterminer les deux solutions de \( (E) \) dans le cas généal. b) Déterminer l'ensemble \( z \) pour que lui-même soit solution de \( (E) \).
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Pour démontrer que \( P(z) = z^2 + (1 - 2i)z + (7 - i) \) est le produit de deux polynômes du 1er degré, on calcule le discriminant \( \Delta = -31 \), ce qui confirme l'existence de deux racines complexes conjuguées. Les solutions de l'équation \( t^2 - 3zt + (2z^2 + iz + 1) = 0 \) sont \( t = \frac{3z \pm \sqrt{z^2 - 4iz - 4}}{2} \). Pour que \( z \) soit une solution de \( (E) \), on trouve \( z = i \).
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