\( A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 5\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{llll}0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right) \) Obtener el valor de det \( \left(B^{3} \cdot A^{\tau}\right) \)

Para calcular el determinante de \( B^3 \cdot A^\tau \), donde \( A^\tau \) es la transpuesta de \( A \), utilizaremos la propiedad de los determinantes que dice que \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \) y que \( \det(A^\tau) = \det(A) \). Primero, calculamos \( \det(A) \) y \( \det(B) \). ### Cálculo de \( \det(A) \) La matriz \( A \) es: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \] Usamos la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Aquí, expandimos por la primera fila: \[ \det(A) = 0 \cdot \det(M_{11}) - 0 \cdot \det(M_{12}) + 0 \cdot \det(M_{13}) - 1 \cdot \det(M_{14}) \] Donde \( M_{14} \) es la submatriz que se obtiene al eliminar la primera fila y la cuarta columna: \[ M_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] Calculamos \( \det(M_{14}) \): \[ \det(M_{14}) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 0 + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculamos los determinantes de las submatrices: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \] \[ \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 2 - 1 = 1 \] Por lo tanto, \[ \det(M_{14}) = 1 \cdot (-3) + 0 + 1 \cdot 1 = -3 + 1 = -2 \] Así que, \[ \det(A) = -(-2) = 2 \] ### Cálculo de \( \det(B) \) La matriz \( B \) es: \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Usamos la expansión por la primera fila: \[ \det(B) = 0 \cdot \det(M_{11}) - 2 \cdot \det(M_{12}) + 0 \cdot \det(M_{13}) + 0 \cdot \det(M_{14}) \] Donde \( M_{12} \) es la submatriz que se obtiene al eliminar la primera fila y la segunda columna: \[ M_{12} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculamos \( \det(M_{12}) \): \[ \det(M_{12}) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - 4 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Calculamos los determinantes de las submatrices: \[ \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 0 - 1 \