C. Encuentra la ecuación de cada parábola satisfaciendo los datos dados y realiza cada gráfica ubicando sus elementos Foco \( F(0,-4), \quad \) directriz \( y=4 \)

Para encontrar la ecuación de la parábola con foco \( F(0, -4) \) y directriz \( y = 4 \), primero identificamos algunos elementos clave de la parábola. ### Elementos de la parábola: 1. **Foco**: \( F(0, -4) \) 2. **Directriz**: \( y = 4 \) 3. **Vértice**: El vértice de la parábola se encuentra a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. La distancia entre el foco y la directriz es \( 4 - (-4) = 8 \), por lo que el vértice estará a \( 4 \) unidades por debajo de la directriz (o \( 4 \) unidades por encima del foco). - Coordenadas del vértice \( V \): \[ V\left(0, \frac{-4 + 4}{2}\right) = V(0, 0) \] 4. **Distancia \( p \)**: La distancia \( p \) es la distancia desde el vértice al foco (o a la directriz). En este caso, \( p = 4 \) (ya que el vértice está en \( y = 0 \) y el foco en \( y = -4 \)). ### Ecuación de la parábola: Dado que el foco está por debajo de la directriz, la parábola abre hacia abajo. La forma estándar de la ecuación de una parábola que abre hacia abajo es: \[ (x - h)^2 = -4p(y - k) \] donde \( (h, k) \) son las coordenadas del vértice y \( p \) es la distancia desde el vértice al foco. Sustituyendo los valores: - \( h = 0 \) - \( k = 0 \) - \( p = 4 \) La ecuación se convierte en: \[ (x - 0)^2 = -4(4)(y - 0) \] Simplificando: \[ x^2 = -16y \] ### Gráfica de la parábola: Para graficar la parábola, podemos identificar los siguientes elementos: - **Vértice**: \( V(0, 0) \) - **Foco**: \( F(0, -4) \) - **Directriz**: \( y = 4 \) La parábola se abre hacia abajo, y su forma es simétrica respecto al eje \( y \). ### Resumen: La ecuación de la parábola es: \[ x^2 = -16y \] Y los elementos son: - Vértice: \( (0, 0) \) - Foco: \( (0, -4) \) - Directriz: \( y = 4 \) Puedes graficar la parábola utilizando estos elementos, asegurándote de que la parábola se abra hacia abajo y que el foco y la directriz estén correctamente ubicados.