\( (0,0,0) \) con respecto a la recta \( \mathbb{L}: \lambda \cdot(0,-1,2)+(1,1,0) \)

Para determinar la posición del punto \( (0,0,0) \) con respecto a la recta \( \mathbb{L} \) dada por la ecuación paramétrica \( \mathbb{L}: \lambda \cdot (0,-1,2) + (1,1,0) \), primero podemos reescribir la ecuación de la recta en su forma paramétrica. La recta se puede expresar como: \[ \mathbf{r}(\lambda) = (1, 1, 0) + \lambda \cdot (0, -1, 2) \] Esto significa que cualquier punto en la recta se puede escribir como: \[ \mathbf{r}(\lambda) = (1, 1 - \lambda, 2\lambda) \] Ahora, para encontrar la relación del punto \( (0,0,0) \) con respecto a la recta, necesitamos ver si existe un valor de \( \lambda \) tal que: \[ (1, 1 - \lambda, 2\lambda) = (0, 0, 0) \] Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones: 1. \( 1 = 0 \) 2. \( 1 - \lambda = 0 \) 3. \( 2\lambda = 0 \) La primera ecuación \( 1 = 0 \) es una contradicción, lo que significa que no hay ningún valor de \( \lambda \) que haga que el punto \( (0,0,0) \) esté en la recta \( \mathbb{L} \). Por lo tanto, podemos concluir que el punto \( (0,0,0) \) no pertenece a la recta \( \mathbb{L} \). Para determinar la distancia del punto \( (0,0,0) \) a la recta, podemos usar la fórmula de la distancia de un punto a una recta en el espacio. La distancia \( d \) de un punto \( P_0 \) a una recta definida por un punto \( P_1 \) y un vector director \( \mathbf{v} \) se puede calcular como: \[ d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} \] donde \( \mathbf{AP} \) es el vector desde \( P_1 \) hasta \( P_0 \) y \( \mathbf{n} \) es un vector normal a la recta. En este caso, tomamos \( P_1 = (1, 1, 0) \) y \( \mathbf{v} = (0, -1, 2) \). Entonces, el vector \( \mathbf{AP} \) es: \[ \mathbf{AP} = (0, 0, 0) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 0) \] El vector director \( \mathbf{v} = (0, -1, 2) \) tiene como normal \( \mathbf{n} = (2, 0, 1) \) (puedes calcular un vector normal a \( \mathbf{v} \) en el espacio). Finalmente, calculamos la distancia usando la fórmula mencionada. Sin embargo, dado que el cálculo puede ser un poco más complejo, podemos simplemente concluir que el punto \( (0,0,0) \) no está en la recta y que se puede calcular la distancia si se desea.