yectivas. Explica por qué \( \begin{array}{ll}\text { a. } f(x)=2 x-1 & \text { b. } f(x)=1-x^{2}\end{array} \)

Para determinar si las funciones dadas son inyectivas, debemos recordar que una función \( f: A \to B \) es inyectiva si, para cualesquiera \( x_1, x_2 \in A \), se cumple que \( f(x_1) = f(x_2) \) implica que \( x_1 = x_2 \). En otras palabras, no puede haber dos elementos diferentes en el dominio que se mapeen al mismo elemento en el codominio. Analicemos cada función por separado: ### a. \( f(x) = 2x - 1 \) Para verificar si esta función es inyectiva, supongamos que \( f(x_1) = f(x_2) \): \[ 2x_1 - 1 = 2x_2 - 1 \] Si sumamos 1 a ambos lados: \[ 2x_1 = 2x_2 \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ x_1 = x_2 \] Dado que hemos llegado a la conclusión de que \( x_1 = x_2 \) cuando \( f(x_1) = f(x_2) \), podemos afirmar que la función \( f(x) = 2x - 1 \) es inyectiva. ### b. \( f(x) = 1 - x^2 \) Ahora, analicemos la segunda función. Supongamos que \( f(x_1) = f(x_2) \): \[ 1 - x_1^2 = 1 - x_2^2 \] Restando 1 de ambos lados: \[ -x_1^2 = -x_2^2 \] Multiplicando por -1: \[ x_1^2 = x_2^2 \] Esto implica que: \[ x_1 = x_2 \quad \text{o} \quad x_1 = -x_2 \] Aquí, podemos ver que hay dos posibles soluciones: \( x_1 \) puede ser igual a \( x_2 \) o \( x_1 \) puede ser igual a \( -x_2 \). Por ejemplo, si tomamos \( x_1 = 1 \) y \( x_2 = -1 \), entonces: \[ f(1) = 1 - 1^2 = 0 \] \[ f(-1) = 1 - (-1)^2 = 0 \] Ambos valores de \( x \) (1 y -1) se mapean al mismo valor en el codominio (0), lo que significa que la función no es inyectiva. ### Conclusión - La función \( f(x) = 2x - 1 \) es inyectiva. - La función \( f(x) = 1 - x^2 \) no es inyectiva.