Delerminar la ewación de la recta proyectodo por la recta L: \( \left\{\begin{array}{l}x=2-3 t \\ y=i+4 t \\ z=t\end{array}\right. \) sobre el prono \( \pi: 2 x+y-3 z-1=0 \).

Para determinar la ecuación de la recta proyectada por la recta \( L \) sobre el plano \( \pi \), primero necesitamos encontrar el punto de intersección de la recta \( L \) con el plano \( \pi \). La recta \( L \) está dada por las ecuaciones paramétricas: \[ \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = i + 4t \\ z = t \end{cases} \] El plano \( \pi \) está definido por la ecuación: \[ 2x + y - 3z - 1 = 0 \] Sustituyendo las ecuaciones paramétricas de \( L \) en la ecuación del plano \( \pi \): \[ 2(2 - 3t) + (i + 4t) - 3(t) - 1 = 0 \] Simplificamos la expresión: \[ 4 - 6t + i + 4t - 3t - 1 = 0 \] \[ 4 - 1 + i - 6t + 4t - 3t = 0 \] \[ 3 + i - 5t = 0 \] De aquí, despejamos \( t \): \[ 5t = 3 + i \implies t = \frac{3 + i}{5} \] Ahora sustituimos este valor de \( t \) en las ecuaciones paramétricas de \( L \) para encontrar el punto de intersección \( P \): \[ x = 2 - 3\left(\frac{3 + i}{5}\right) = 2 - \frac{9 + 3i}{5} = \frac{10 - 9 - 3i}{5} = \frac{1 - 3i}{5} \] \[ y = i + 4\left(\frac{3 + i}{5}\right) = i + \frac{12 + 4i}{5} = \frac{5i + 12 + 4i}{5} = \frac{12 + 9i}{5} \] \[ z = \frac{3 + i}{5} \] Por lo tanto, el punto de intersección \( P \) es: \[ P\left(\frac{1 - 3i}{5}, \frac{12 + 9i}{5}, \frac{3 + i}{5}\right) \] Ahora, para encontrar la dirección de la proyección, necesitamos el vector normal del plano \( \pi \), que se puede obtener de los coeficientes de la ecuación del plano. El vector normal \( \mathbf{n} \) es: \[ \mathbf{n} = (2, 1, -3) \] La dirección de la recta \( L \) está dada por el vector director \( \mathbf{d} = (-3, 4, 1) \). Para encontrar la proyección de \( \mathbf{d} \) sobre \( \mathbf{n} \), utilizamos la fórmula de proyección: \[ \text{Proy}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] Calculamos \( \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \): \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = (-3)(2) + (4)(1) + (1)(-3) = -6 + 4 - 3 = -5 \] Calculamos \( \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} \): \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14 \] Ahora, la proyección es: \[ \text{Proy}_{\mathbf{n}} \mathbf{d} = \frac{-5}{14} \mathbf{n} = \frac{-5}{14}(2, 1, -3) = \left(-\frac{10}{14}, -\frac{5}{14}, \frac{15}{14}\right) = \left(-\frac{5}{7}, -\frac{5}{14}, \frac{15}{14}\right) \] La dirección de la recta proyectada es \( \mathbf{d}_{\text{proj}} = \mathbf{d} - \