2. Utilice diagramas de Venn para resolver los siguientes problemas. (a) En una competencia de atletismo conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas. Al finalizar la competencia se determinó lo siguiente: cuatro atletas conquistaron medallas de oro, plata y bronce; siete conquistaron medallas de oro y plata; seis de ellos plata y bronce; ocho conquistaron oro y bronce. Determine: ¿Cuántos de los atletas no conquistaron medallas?, ¿Cuántos solo oro?, ¿Cuántos solo plata? y ¿Cuántos solo plata y bronce?.

Para resolver este problema, utilizaremos un diagrama de Venn que nos ayudará a visualizar la información sobre los atletas y las medallas que han conquistado. Denotaremos: - \( O \): el conjunto de atletas que conquistaron medallas de oro. - \( P \): el conjunto de atletas que conquistaron medallas de plata. - \( B \): el conjunto de atletas que conquistaron medallas de bronce. De acuerdo con la información proporcionada, tenemos las siguientes intersecciones: 1. \( |O \cap P \cap B| = 4 \) (atletas que conquistaron oro, plata y bronce) 2. \( |O \cap P| = 7 \) (atletas que conquistaron oro y plata) 3. \( |P \cap B| = 6 \) (atletas que conquistaron plata y bronce) 4. \( |O \cap B| = 8 \) (atletas que conquistaron oro y bronce) Ahora, podemos usar esta información para encontrar los números que necesitamos. ### Paso 1: Determinar los conjuntos 1. **Atletas que conquistaron solo oro**: \[ |O| = |O \cap P| + |O \cap B| - |O \cap P \cap B| + |O \text{ solo}| \] \[ |O| = 7 + 8 - 4 + |O \text{ solo}| \] \[ |O| = 11 + |O \text{ solo}| \] 2. **Atletas que conquistaron solo plata**: \[ |P| = |O \cap P| + |P \cap B| - |O \cap P \cap B| + |P \text{ solo}| \] \[ |P| = 7 + 6 - 4 + |P \text{ solo}| \] \[ |P| = 9 + |P \text{ solo}| \] 3. **Atletas que conquistaron solo bronce**: \[ |B| = |O \cap B| + |P \cap B| - |O \cap P \cap B| + |B \text{ solo}| \] \[ |B| = 8 + 6 - 4 + |B \text{ solo}| \] \[ |B| = 10 + |B \text{ solo}| \] ### Paso 2: Sumar los atletas que conquistaron medallas Ahora, sumamos todos los atletas que conquistaron medallas: \[ |O \text{ solo}| + |P \text{ solo}| + |B \text{ solo}| + |O \cap P| + |O \cap B| + |P \cap B| - |O \cap P \cap B| = \text{Total de atletas que conquistaron medallas} \] Sustituyendo los valores: \[ |O \text{ solo}| + |P \text{ solo}| + |B \text{ solo}| + 7 + 8 + 6 - 4 = x \] Donde \( x \) es el total de atletas que conquistaron medallas. ### Paso 3: Calcular el total de atletas Sabemos que hay 50 atletas en total. Por lo tanto, los atletas que no conquistaron medallas son: \[ 50 - x \] ### Paso 4: Resolver el sistema Para resolver el sistema, necesitamos más información. Sin embargo, podemos hacer algunas suposiciones. Supongamos que \( |O \text{ solo}| = a \), \( |P \text{ solo}| = b \), y \( |B \text{ solo}| = c \). Entonces, podemos escribir: \[ a + b + c + 7 + 8 + 6 - 4 = 50 - (50 - x) \] Esto se convierte en: \[ a + b + c + 17 = x \] ### Paso 5: Resolvemos el sistema Ahora, podemos resolver el sistema de ecuaciones. Sin embargo, dado que no tenemos suficientes datos para determinar \( a \), \( b \), y \( c \) de manera única, podemos hacer algunas suposiciones. Por ejemplo, si asumimos que no hay atletas que conquistaron solo una medalla, entonces: \[ a = 0, b = 0, c = 0 \] Esto nos daría: \[ 0 + 0 + 0 + 17 = x \implies x =