De acuerdo con tos datos, resuel cada triangulo \( a=c=7 a, a=25 \mathrm{~cm}, b=2 a \mathrm{~cm} \) \( b=a=38 \mathrm{~cm}, b=32 \mathrm{~cm}, c=10 \mathrm{~cm} \) \( c=b=3 \mathrm{~cm}, c=5 \mathrm{~cm}, A=12^{\circ} \) \( d=a=11 \mathrm{~cm}, b=13 \mathrm{~cm}, c=12 \mathrm{~cm} \)

Para resolver cada uno de los triángulos que has proporcionado, utilizaremos las propiedades de los triángulos y, en algunos casos, el teorema de los senos o el teorema de los cosenos. Vamos a resolver cada uno de los triángulos uno por uno. ### Triángulo 1 Datos: \( a = c = 7a \), \( a = 25 \, \text{cm} \), \( b = 2a \, \text{cm} \) 1. Primero, calculamos \( a \) y \( b \): - \( a = 25 \, \text{cm} \) - \( c = 7a = 7 \times 25 = 175 \, \text{cm} \) - \( b = 2a = 2 \times 25 = 50 \, \text{cm} \) 2. Ahora tenemos los lados del triángulo: - \( a = 25 \, \text{cm} \) - \( b = 50 \, \text{cm} \) - \( c = 175 \, \text{cm} \) Sin embargo, este triángulo no es válido porque la suma de las longitudes de dos lados debe ser mayor que la longitud del tercer lado. En este caso, \( 25 + 50 = 75 < 175 \). Por lo tanto, no se puede formar un triángulo. ### Triángulo 2 Datos: \( a = 38 \, \text{cm}, b = 32 \, \text{cm}, c = 10 \, \text{cm} \) 1. Verificamos si se puede formar un triángulo: - \( a + b = 38 + 32 = 70 > 10 \) - \( a + c = 38 + 10 = 48 > 32 \) - \( b + c = 32 + 10 = 42 > 38 \) El triángulo es válido. 2. Usamos la ley de cosenos para encontrar el ángulo \( C \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] \[ 10^2 = 38^2 + 32^2 - 2 \cdot 38 \cdot 32 \cdot \cos(C) \] \[ 100 = 1444 + 1024 - 2432 \cdot \cos(C) \] \[ 100 = 2468 - 2432 \cdot \cos(C) \] \[ 2432 \cdot \cos(C) = 2468 - 100 \] \[ 2432 \cdot \cos(C) = 2368 \] \[ \cos(C) = \frac{2368}{2432} \approx 0.973 \] \[ C \approx \cos^{-1}(0.973) \approx 13.1^\circ \] 3. Ahora, podemos encontrar los otros ángulos usando la ley de senos: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Primero, encontramos \( \sin(C) \): \[ \sin(C) \approx \sqrt{1 - \cos^2(C)} \approx \sqrt{1 - 0.973^2} \approx 0.229 \] Ahora, usando la ley de senos: \[ \frac{10}{0.229} = \frac{38}{\sin(A)} \Rightarrow \sin(A) = \frac{38 \cdot 0.229}{10} \approx 0.87 \Rightarrow A \approx 60.1^\circ \] Finalmente, \( B = 180^\circ - A - C \approx 180 - 60.1 - 13.1 \approx 106.8^\circ \). ### Triángulo 3 Datos: \( c = b = 3 \, \text{cm}, c = 5 \, \text{cm}, A = 12^\circ \) 1. Aquí hay un error en los datos, ya que \( b \) y \( c \) no pueden ser iguales a 3 y 5 al mismo tiempo. Por favor, verifica los datos. ### Triángulo 4 Datos