17. Calcular el área bajo la curva de \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+4 \), empleando la suma de Riemann por izquierda en el intervalo \( 0 \leq x \leq 3 \), con 6 particiones.

Para calcular el área bajo la curva de la función \( f(x) = \frac{1}{2} x^2 + 4 \) en el intervalo \( [0, 3] \) utilizando la suma de Riemann por la izquierda con 6 particiones, seguimos estos pasos: 1. **Determinar el ancho de cada partición**: El intervalo \( [0, 3] \) se divide en 6 partes. El ancho de cada partición \( \Delta x \) se calcula como: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 0}{6} = \frac{3}{6} = 0.5 \] 2. **Determinar los puntos de evaluación**: Para la suma de Riemann por la izquierda, tomamos los puntos de la izquierda de cada subintervalo. Los puntos son: - \( x_0 = 0 \) - \( x_1 = 0.5 \) - \( x_2 = 1.0 \) - \( x_3 = 1.5 \) - \( x_4 = 2.0 \) - \( x_5 = 2.5 \) 3. **Evaluar la función en los puntos de evaluación**: Ahora evaluamos \( f(x) \) en cada uno de estos puntos: - \( f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 + 4 = 4 \) - \( f(0.5) = \frac{1}{2}(0.5)^2 + 4 = \frac{1}{2}(0.25) + 4 = \frac{1}{8} + 4 = 4.125 \) - \( f(1.0) = \frac{1}{2}(1.0)^2 + 4 = \frac{1}{2}(1) + 4 = 0.5 + 4 = 4.5 \) - \( f(1.5) = \frac{1}{2}(1.5)^2 + 4 = \frac{1}{2}(2.25) + 4 = 1.125 + 4 = 5.125 \) - \( f(2.0) = \frac{1}{2}(2.0)^2 + 4 = \frac{1}{2}(4) + 4 = 2 + 4 = 6 \) - \( f(2.5) = \frac{1}{2}(2.5)^2 + 4 = \frac{1}{2}(6.25) + 4 = 3.125 + 4 = 7.125 \) 4. **Calcular la suma de Riemann**: La suma de Riemann por la izquierda se calcula como: \[ S_L = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \] Sustituyendo los valores: \[ S_L = f(0) \Delta x + f(0.5) \Delta x + f(1.0) \Delta x + f(1.5) \Delta x + f(2.0) \Delta x + f(2.5) \Delta x \] \[ S_L = (4 + 4.125 + 4.5 + 5.125 + 6 + 7.125) \cdot 0.5 \] \[ S_L = (30.875) \cdot 0.5 = 15.4375 \] Por lo tanto, el área bajo la curva de \( f(x) \) en el intervalo \( [0, 3] \) utilizando la suma de Riemann por la izquierda con 6 particiones es aproximadamente \( 15.4375 \).