c) Si \( z=2_{30^{\circ}} \), hallar su conjugado y su opuesto. d) Hallar un número complejo y su opuesto sabiendo que su conjugado es \( \bar{z}=3_{70^{\circ}} \)

Para resolver los problemas planteados, utilizaremos la representación polar de los números complejos. ### c) Si \( z = 2_{30^{\circ}} \) 1. **Conjugado**: El conjugado de un número complejo en forma polar \( z = r_{θ} \) se obtiene cambiando el signo del ángulo. Por lo tanto, el conjugado de \( z \) es: \[ \bar{z} = 2_{-30^{\circ}}. \] 2. **Opuesto**: El opuesto de un número complejo en forma polar se obtiene multiplicando el número por \(-1\), lo que equivale a sumar \(180^{\circ}\) al ángulo. Así, el opuesto de \( z \) es: \[ -z = 2_{30^{\circ} + 180^{\circ}} = 2_{210^{\circ}}. \] ### d) Hallar un número complejo y su opuesto sabiendo que su conjugado es \( \bar{z} = 3_{70^{\circ}} \) 1. **Número complejo**: Dado que el conjugado de \( z \) es \( \bar{z} = 3_{70^{\circ}} \), el número complejo \( z \) se obtiene cambiando el signo del ángulo del conjugado. Por lo tanto: \[ z = 3_{-70^{\circ}}. \] 2. **Opuesto**: El opuesto de \( z \) se obtiene sumando \(180^{\circ}\) al ángulo de \( z \): \[ -z = 3_{-70^{\circ} + 180^{\circ}} = 3_{110^{\circ}}. \] ### Resumen de resultados: - Para \( z = 2_{30^{\circ}} \): - Conjugado: \( \bar{z} = 2_{-30^{\circ}} \) - Opuesto: \( -z = 2_{210^{\circ}} \) - Para \( \bar{z} = 3_{70^{\circ}} \): - Número complejo: \( z = 3_{-70^{\circ}} \) - Opuesto: \( -z = 3_{110^{\circ}} \)