4. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft. Die Gleichung der Wendetangente an der Stelle $$ x=2 $$ lautet $$ t(x)=-2 x+8 $$. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades, deren Graph die $$ x $$-Achse an der Stelle $$ x=-1 $$ berührt und einen Extrempunkt $$ E(1 \mid 1) $$ aufweist. c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und den Sattelpunkt S(1|1) hat.

Question

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a) Die Funktionsgleichung der Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung verläuft und whose turning point tangent at $$ x=2 $$ is $$ t(x)=-2x+8 $$, ist $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx $$ mit $$ d = 0 $$ und $$ 12a + 4b + c = 4 $$. b) Die Funktionsgleichung der Funktion dritten Grades, die die $$ x $$-Achse an $$ x=-1 $$ berührt und den Extrempunkt $$ E(1, 1) $$ hat, ist $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ mit $$ f(-1) = 0 $$, $$ f(1) = 1 $$, und $$ f'(1) = 0 $$. c) Die Funktionsgleichung der ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und den Sattelpunkt $$ S(1, 1) $$ hat, ist $$ f(x) = ax^3 + cx + d $$ mit $$ a 
eq 0 $$, $$ b = 0 $$, $$ f(1) = 1 $$, und $$ f'(1) = 0 $$.

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