S. In un triangolo rettangolo un cateto è i \( \frac{7}{24} \) dell'altro e la somma dei due cateti misu- ra 62 cm . Determina il perimetro e l'area del triangolo. \( \left[112 \mathrm{~cm} ; 336 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Sia \( a \) il cateto più corto e \( b \) il cateto più lungo. Dalla condizione del problema, sappiamo che: \[ a = \frac{7}{24} b \] Inoltre, la somma dei cateti è: \[ a + b = 62 \, \text{cm} \] Sostituendo \( a \) nella seconda equazione, otteniamo: \[ \frac{7}{24} b + b = 62 \] Possiamo riscrivere \( b \) come \( \frac{24}{24} b \): \[ \frac{7}{24} b + \frac{24}{24} b = 62 \] Sommiamo i termini a sinistra: \[ \frac{31}{24} b = 62 \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( \frac{24}{31} \): \[ b = 62 \cdot \frac{24}{31} = \frac{1488}{31} \approx 48 \, \text{cm} \] Ora possiamo calcolare \( a \): \[ a = \frac{7}{24} b = \frac{7}{24} \cdot 48 = 14 \, \text{cm} \] Ora abbiamo i due cateti: \[ a = 14 \, \text{cm}, \quad b = 48 \, \text{cm} \] Per calcolare l'ipotenusa \( c \) utilizziamo il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, \text{cm} \] Ora possiamo calcolare il perimetro \( P \) del triangolo: \[ P = a + b + c = 14 + 48 + 50 = 112 \, \text{cm} \] Infine, calcoliamo l'area \( A \) del triangolo: \[ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 48 = 336 \, \text{cm}^2 \] Riassumendo, il perimetro e l'area del triangolo sono: \[ \text{Perimetro} = 112 \, \text{cm}, \quad \text{Area} = 336 \, \text{cm}^2 \]