Quantos números entre 1 e 100 (inclusive) são divisíveis por 4 ou 5 ?

Para encontrar quantos números entre 1 e 100 (inclusive) são divisíveis por 4 ou 5, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão. 1. **Números divisíveis por 4:** Os números divisíveis por 4 entre 1 e 100 formam a sequência: 4, 8, 12, ..., 100. Essa é uma progressão aritmética onde: - O primeiro termo \( a_1 = 4 \) - A razão \( r = 4 \) - O último termo \( a_n = 100 \) Para encontrar o número de termos \( n \), usamos a fórmula do enésimo termo da PA: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \] Substituindo os valores: \[ 100 = 4 + (n-1) \cdot 4 \] \[ 100 - 4 = (n-1) \cdot 4 \] \[ 96 = (n-1) \cdot 4 \] \[ n-1 = 24 \quad \Rightarrow \quad n = 25 \] Portanto, há 25 números divisíveis por 4. 2. **Números divisíveis por 5:** Os números divisíveis por 5 entre 1 e 100 formam a sequência: 5, 10, 15, ..., 100. Essa também é uma PA onde: - O primeiro termo \( a_1 = 5 \) - A razão \( r = 5 \) - O último termo \( a_n = 100 \) Usando a mesma fórmula: \[ 100 = 5 + (n-1) \cdot 5 \] \[ 100 - 5 = (n-1) \cdot 5 \] \[ 95 = (n-1) \cdot 5 \] \[ n-1 = 19 \quad \Rightarrow \quad n = 20 \] Portanto, há 20 números divisíveis por 5. 3. **Números divisíveis por 20 (divisíveis por 4 e 5):** Os números divisíveis por 20 entre 1 e 100 formam a sequência: 20, 40, 60, 80, 100. Essa é uma PA onde: - O primeiro termo \( a_1 = 20 \) - A razão \( r = 20 \) - O último termo \( a_n = 100 \) Usando a fórmula: \[ 100 = 20 + (n-1) \cdot 20 \] \[ 100 - 20 = (n-1) \cdot 20 \] \[ 80 = (n-1) \cdot 20 \] \[ n-1 = 4 \quad \Rightarrow \quad n = 5 \] Portanto, há 5 números divisíveis por 20. 4. **Aplicando o princípio da inclusão-exclusão:** O total de números divisíveis por 4 ou 5 é dado por: \[ N(4 \cup 5) = N(4) + N(5) - N(4 \cap 5) \] Substituindo os valores: \[ N(4 \cup 5) = 25 + 20 - 5 = 40 \] Portanto, há **40 números** entre 1 e 100 que são divisíveis por 4 ou 5.