Délerminer le domainade défanition et lo parité de if \( f(a)=\frac{x^{3}\left(8-x^{\prime}\right)}{\sqrt{5 \cdot \cos (x)}} \)

Pour déterminer le domaine de définition de la fonction \( f(x) = \frac{x^{3}(8-x)}{\sqrt{5 \cdot \cos(x)}} \), nous devons examiner les conditions qui rendent cette fonction définie. 1. **Dénominateur non nul** : Le dénominateur \(\sqrt{5 \cdot \cos(x)}\) doit être différent de zéro. Cela signifie que \(5 \cdot \cos(x) > 0\). Donc, nous devons avoir \(\cos(x) > 0\). La fonction cosinus est positive dans les intervalles : \[ 2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{\pi}{2} \quad \text{pour } k \in \mathbb{Z} \] Cela correspond à des intervalles de la forme \((2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2})\). 2. **Racine carrée définie** : Puisque nous avons une racine carrée, l'expression sous la racine doit être positive, ce qui est déjà couvert par la condition \(5 \cdot \cos(x) > 0\). 3. **Numérateur** : Le numérateur \(x^{3}(8-x)\) est défini pour tous les réels \(x\). Cependant, il est important de noter que ce terme ne pose pas de restrictions supplémentaires sur le domaine. En résumé, le domaine de définition de \(f(x)\) est donné par les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\cos(x) > 0\). Cela se traduit par les intervalles : \[ D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) \] ### Parité de la fonction Pour déterminer la parité de la fonction \(f(x)\), nous devons vérifier si \(f(-x) = f(x)\) (fonction paire) ou \(f(-x) = -f(x)\) (fonction impaire). Calculons \(f(-x)\) : \[ f(-x) = \frac{(-x)^{3}(8 - (-x))}{\sqrt{5 \cdot \cos(-x)}} \] \[ = \frac{-x^{3}(8 + x)}{\sqrt{5 \cdot \cos(x)}} \] Comparons \(f(-x)\) avec \(f(x)\) : \[ f(x) = \frac{x^{3}(8 - x)}{\sqrt{5 \cdot \cos(x)}} \] On voit que : \[ f(-x) = -\frac{x^{3}(8 + x)}{\sqrt{5 \cdot \cos(x)}} \] Ainsi, \(f(-x) \neq f(x)\) et \(f(-x) \neq -f(x)\) en général. Par conséquent, la fonction \(f(x)\) n'est ni paire ni impaire. ### Conclusion - **Domaine de définition** : \(D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}\right)\) - **Parité** : La fonction \(f(x)\) n'est ni paire ni impaire.