Greene Joseph
08/23/2024 · Elementary School
Soient n et \( \mathrm{p} \in \mathrm{N} \), avec \( \mathrm{p} \leq \mathrm{n} \). On pose : \( \mathrm{A}(\mathrm{n}, \mathrm{p})=\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}} \max (\mathrm{i}, \mathrm{p}) \). Remarque: Si a et \( b \) sont deux entiers, alors max \( (a, b) \) désigne le maximum entre a et \( b \). En particulier : max \( (a \), \( a \) ) 1. Calculer : \( \mathrm{A}(\mathrm{n}, 0) \) et \( \mathrm{A}(\mathrm{n}, \mathrm{n}) \). b. Calculer : \( \mathrm{A}(5,3) \). c. Dans cette question, on suppose que : \( \mathrm{n} \geq 1 \). Calculer: \( \mathrm{A}(\mathrm{n}, 1) \). 2. Calculer \( \mathrm{A}(\mathrm{n}, \mathrm{p}) \).
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Pour résoudre les différentes parties de la question, nous allons examiner la fonction \( A(n, p) = \sum_{i=0}^{n} \max(i, p) \).
### 1. Calculer \( A(n, 0) \) et \( A(n, n) \)
**a. Calcul de \( A(n, 0) \)**
Pour \( p = 0 \), nous avons :
\[
A(n, 0) = \sum_{i=0}^{n} \max(i, 0)
\]
Pour \( i < 0 \), \( \max(i, 0) = 0 \), et pour \( i \geq 0 \), \( \max(i, 0) = i \). Donc, nous avons :
\[
A(n, 0) = \sum_{i=0}^{n} i = 0 + 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
**b. Calcul de \( A(n, n) \)**
Pour \( p = n \), nous avons :
\[
A(n, n) = \sum_{i=0}^{n} \max(i, n)
\]
Pour \( i < n \), \( \max(i, n) = n \), et pour \( i = n \), \( \max(n, n) = n \). Donc, nous avons :
\[
A(n, n) = \sum_{i=0}^{n-1} n + n = (n \cdot n) + n = n^2 + n = n(n + 1)
\]
### 2. Calculer \( A(5, 3) \)
Pour \( n = 5 \) et \( p = 3 \), nous avons :
\[
A(5, 3) = \sum_{i=0}^{5} \max(i, 3)
\]
Calculons chaque terme :
- Pour \( i = 0, 1, 2 \), \( \max(i, 3) = 3 \)
- Pour \( i = 3, 4, 5 \), \( \max(i, 3) = i \)
Donc :
\[
A(5, 3) = 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 = 3 \cdot 3 + 4 + 5 = 9 + 4 + 5 = 18
\]
### 3. Calculer \( A(n, 1) \)
Pour \( p = 1 \), nous avons :
\[
A(n, 1) = \sum_{i=0}^{n} \max(i, 1)
\]
Pour \( i = 0 \), \( \max(0, 1) = 1 \). Pour \( i = 1 \), \( \max(1, 1) = 1 \). Pour \( i \geq 2 \), \( \max(i, 1) = i \).
Donc :
\[
A(n, 1) = 1 + 1 + \sum_{i=2}^{n} i = 2 + (2 + 3 + \ldots + n)
\]
La somme \( 2 + 3 + \ldots + n \) peut être calculée comme suit :
\[
\sum_{i=2}^{n} i = \sum_{i=1}^{n} i - 1 = \frac{n(n+1)}{2} - 1
\]
Ainsi :
\[
A(n, 1) = 2 + \left( \frac{n(n+1)}{2} - 1 \right) = \frac{n(n+1)}{2} + 1
\]
### 4. Calculer \( A(n, p) \)
Pour \( p \geq 1 \), nous avons :
\[
A(n, p) = \sum_{i=0}^{n} \max(i, p)
\]
Pour \( i < p \), \( \max(i, p) = p \). Pour \( i \geq p \), \( \max(i, p) = i \).
Donc :
\[
A(n, p) = \sum_{i=0}^{p-1} p + \sum_{i=p}^{n} i = p \cdot p + \sum_{i=p}^{n} i
\]
La somme \( \sum_{i=p}^{n} i \) est :
\[
\sum_{i=p}^{n} i = \sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1
Quick Answer
1. \( A(n, 0) = \frac{n(n+1)}{2} \), \( A(n, n) = n(n + 1) \)
2. \( A(5, 3) = 18 \)
3. \( A(n, 1) = \frac{n(n+1)}{2} + 1 \)
4. \( A(n, p) = p^2 + \sum_{i=p}^{n} i \)
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