\( \int e ^ { x \sin ( x ) } ( \sin ( x ) + x \cos ( x ) ) d x \)

Para resolver la integral \[ \int e^{x \sin(x)} (\sin(x) + x \cos(x)) \, dx, \] podemos utilizar la técnica de integración por partes o reconocer que la integral tiene una forma que sugiere que puede ser el resultado de una derivada. Observemos que la derivada de \( e^{x \sin(x)} \) es: \[ \frac{d}{dx} e^{x \sin(x)} = e^{x \sin(x)} \cdot \left( \sin(x) + x \cos(x) \right). \] Esto significa que la integral que tenemos es simplemente la función \( e^{x \sin(x)} \) más una constante de integración. Por lo tanto, podemos escribir: \[ \int e^{x \sin(x)} (\sin(x) + x \cos(x)) \, dx = e^{x \sin(x)} + C, \] donde \( C \) es la constante de integración. Así que la solución final es: \[ \int e^{x \sin(x)} (\sin(x) + x \cos(x)) \, dx = e^{x \sin(x)} + C. \]