8. Сумма второго и четвёртого членов арифметической про. грессии равна 7, а произведение этих членов равно 10. Найдите прогрессию.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность как \( d \). Тогда второй и четвёртый члены прогрессии можно выразить следующим образом: - Второй член: \( a_2 = a + d \) - Четвёртый член: \( a_4 = a + 3d \) Согласно условию задачи, сумма второго и четвёртого членов равна 7: \[ a_2 + a_4 = (a + d) + (a + 3d) = 2a + 4d = 7 \] Также известно, что произведение этих членов равно 10: \[ a_2 \cdot a_4 = (a + d)(a + 3d) = a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( 2a + 4d = 7 \) 2. \( a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \) Из первого уравнения выразим \( a \): \[ 2a = 7 - 4d \implies a = \frac{7 - 4d}{2} \] Подставим это значение \( a \) во второе уравнение: \[ \left(\frac{7 - 4d}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{7 - 4d}{2}\right)d + 3d^2 = 10 \] Упростим это уравнение: \[ \frac{(7 - 4d)^2}{4} + 2(7 - 4d)d + 3d^2 = 10 \] Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ (7 - 4d)^2 + 8(7 - 4d)d + 12d^2 = 40 \] Раскроем скобки: \[ 49 - 56d + 16d^2 + 56d - 32d^2 + 12d^2 = 40 \] Соберём подобные члены: \[ 49 - 4d^2 = 40 \] Переносим 40 в левую часть: \[ 49 - 40 - 4d^2 = 0 \implies 9 - 4d^2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 4d^2 = 9 \implies d^2 = \frac{9}{4} \implies d = \frac{3}{2} \text{ или } d = -\frac{3}{2} \] Теперь подставим найденные значения \( d \) обратно в выражение для \( a \). 1. Если \( d = \frac{3}{2} \): \[ a = \frac{7 - 4 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{7 - 6}{2} = \frac{1}{2} \] 2. Если \( d = -\frac{3}{2} \): \[ a = \frac{7 - 4 \cdot -\frac{3}{2}}{2} = \frac{7 + 6}{2} = \frac{13}{2} \] Теперь у нас есть две прогрессии: 1. Для \( a = \frac{1}{2} \) и \( d = \frac{3}{2} \): \[ \text{Прогрессия: } \frac{1}{2}, 2, \frac{5}{2}, 4, \ldots \] 2. Для \( a = \frac{13}{2} \) и \( d = -\frac{3}{2} \): \[ \text{Прогрессия: } \frac{13}{2}, 5, \frac{7}{2}, 2, \ldots \] Таким образом, мы нашли две возможные арифметические прогрессии.